La somma degli angoli di un triangolo. Il teorema sulla somma degli angoli di un triangolo

Il triangolo è un poligono avente tre lati (tre angoli). Molto spesso, la parte indicata con lettere minuscole corrispondenti lettere maiuscole, che rappresentano vertici opposti. In questo articolo diamo un'occhiata a questi tipi di forme geometriche, teorema, che definisce ciò che è uguale alla somma degli angoli di un triangolo.

Tipi angoli più grandi

I seguenti tipi di poligono con tre vertici:

• ad angolo acuto, in cui tutti gli angoli sono taglienti;
• rettangolare avente un angolo retto, il lato formarlo, di cui alle gambe, e la parte che è disposto opposto all'angolo destra è chiamato l'ipotenusa;
• ottuso quando uno angolo è ottuso ;
• isoscele, i cui due lati sono uguali, e sono chiamati laterali, e il terzo – un triangolo con una base;
• equilatero avente tre lati uguali.

proprietà

Allocare le proprietà di base che sono caratteristici di ogni tipo di triangolo:

• opposto al lato maggiore è sempre maggiore l'angolo, e viceversa;
• sono uguali angoli opposti della parità maggior parte, e viceversa;
• in ogni triangolo ha due angoli acuti;
• angolo esterno maggiore qualsiasi angolo interno ad esso non adiacente;
• la somma di due qualsiasi angoli è sempre minore di 180 gradi;
• angolo esterno uguale alla somma degli altri due angoli, che non sono mezhuyut con lui.

Il teorema sulla somma degli angoli di un triangolo

Il teorema afferma che se si sommano tutti gli angoli della forma geometrica, che si trova nel piano euclideo, allora la loro somma sarà di 180 gradi. Proviamo a dimostrare questo teorema.

Lasciare abbiamo un triangolo con vertici arbitrario KMN. Nella parte superiore di M terrà un parallelo diretto alla linea KN (anche questa linea è chiamata Euclide). Va notato punto A in modo che i punti K e A sono disposte da lati differenti della linea MN. Si ottiene lo stesso angolo di AMS e MUF, che, come l'interno, si trovano trasversalmente per formare intersecano MN unitamente CN diretta e MA, parallele. Da ciò ne consegue che la somma degli angoli del triangolo, che si trova ai vertici di M e N è uguale alla dimensione dell'angolo CMA. Tutti i tre angoli costituiti da una somma uguale alla somma degli angoli di KMA e MCS. Poiché i dati sono angoli interni relativi lati linee parallele CL e CM MA a intersecanti, la loro somma è di 180 gradi. Questo dimostra il teorema.

risultato

Di quanto sopra il teorema sopra implica il seguente corollario: ogni triangolo ha due angoli acuti. Per dimostrare questo, supponiamo che questa figura geometrica ha soltanto un angolo acuto. Si può anche supporre che nessuno degli angoli non sono taglienti. In questo caso deve essere almeno due angoli, la cui ampiezza è uguale o superiore a 90 gradi. Ma poi la somma degli angoli è maggiore di 180 gradi. Ma questo non può essere, come secondo gli angoli teorema somma di un triangolo è uguale a 180 ° – né più né meno. Questo è quello che doveva essere provato.

Proprietà angoli esterni

Qual è la somma degli angoli di un triangolo, che sono esterni? La risposta a questa domanda può essere ottenuto mediante l'applicazione di uno dei due modi. La prima è che è necessario trovare la somma degli angoli, che sono presi uno ad ogni vertice, cioè tre angoli. La seconda implica che è necessario trovare la somma dei sei angoli ai vertici. Per affrontare l'inizio della prima realizzazione. Così, il triangolo contiene sei angoli esterni – nella parte superiore di ciascuno dei due. Ogni coppia ha uguali angoli tra loro, dal momento che sono verticali:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Inoltre, è noto che l'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due interni, che non sono mezhuyutsya con lui. di conseguenza,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Da ciò risulta che la somma degli angoli esterni, che sono presi uno ad uno vicino ogni vertice sarà pari a:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Tenuto conto del fatto che la somma degli angoli è uguale a 180 gradi, si può sostenere che i ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Ciò significa che ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Se si utilizza la seconda opzione, la somma dei sei angoli sarà corrispondentemente maggiore due volte. Cioè la somma degli angoli di un triangolo esterno sarà:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

triangolo rettangolo

Qual è uguale alla somma degli angoli di un triangolo rettangolo, è l'isola? La risposta è, ancora, da Teorema, in cui si afferma che gli angoli di un triangolo aggiungere fino a 180 gradi. Un suono nostra affermazione (proprietà) come segue: in un triangolo rettangolo angoli acuti aggiungere fino a 90 gradi. Dimostriamo la sua veridicità. Sia la proposta triangolo KMN, che ∟N = 90 °. È necessario provare che ∟K ∟M = + 90 °.

Pertanto, secondo il teorema sulla somma degli angoli ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. In questa condizione si dice che ∟N = 90 °. Risulta ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Questo è ∟K ∟M + = 180 ° – 90 ° = 90 °. Questo è quello che dobbiamo dimostrare.

Oltre alle proprietà di cui sopra di un triangolo rettangolo, è possibile aggiungere questi:

• angoli, che si trovano contro le gambe sono taglienti;
• l'ipotenusa del triangolo più grande di qualsiasi delle gambe;
• la somma delle gambe più che l'ipotenusa;
• lato del triangolo, opposta alla angolo di 30 gradi, la metà dell'ipotenusa, che è uguale alla sua metà.

Come un'altra proprietà della forma geometrica può essere distinto teorema di Pitagora. Si ritiene che in un triangolo con un angolo di 90 gradi (rettangolare), la somma dei quadrati delle gambe è uguale al quadrato dell'ipotenusa.

La somma degli angoli di un triangolo isoscele

Precedenza abbiamo detto che un triangolo isoscele è un poligono con tre vertici, contenente due lati uguali. Questa proprietà è nota figura geometrica: gli angoli alla sua base uguale. Proviamo questo.

Prendete il triangolo KMN, che è isoscele, Carolina del Sud – la sua base. Siamo tenuti a dimostrare che ∟K = ∟N. Così, supponiamo che MA – KMN è la bisettrice del nostro triangolo. triangolo ICA con il primo segno di uguaglianza è triangolo MNA. Vale a dire, per ipotesi dato che CM = NM, MA è un lato comune, ∟1 = ∟2, perché MA – questo bisettrice. Utilizzando l'uguaglianza dei due triangoli, si potrebbe sostenere che ∟K = ∟N. Quindi, il teorema è dimostrato.

Ma ci interessa, qual è la somma degli angoli di un triangolo (isoscele). Perché in questo senso non ha le sue caratteristiche, si partirà dal teorema discusso in precedenza. Cioè, si può dire che ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, oppure 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (come ∟K = ∟N). Questo non si rivelerà la proprietà, come il teorema sulla somma degli angoli di un triangolo è stato dimostrato in precedenza.

Tranne le proprietà considerate dei vertici di un triangolo, ci sono anche tali dichiarazioni importanti:

• in un'altezza triangolo equilatero, che era stata abbassata alla base, è simultaneamente la bisettrice dell'angolo mediana che è tra i lati uguali e l'asse di simmetria della sua base;
• mediana (bisettrici, altitudine), che sono tenuti ai lati di una figura geometrica, sono uguali.

triangolo equilatero

E 'chiamata anche a destra, è il triangolo, che sono uguali per tutte le parti. E quindi anche uguali e angoli. Ciascuno di essi è 60 gradi. Proviamo questa proprietà.

Supponiamo che abbiamo un triangolo KMN. Sappiamo che KM = HM = KH. Ciò significa che, in base alla proprietà degli angoli situate alla base di un triangolo equilatero ∟K = ∟M = ∟N. Poiché, secondo la somma degli angoli di un triangolo teorema ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, allora x 3 = 180 ° ∟K o ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Pertanto, l'affermazione è dimostrata. Come si vede dalle prove sopra in base al teorema di cui sopra, la somma degli angoli di un triangolo equilatero, come somma degli angoli di qualsiasi altro triangolo è di 180 gradi. Dimostra ancora questo teorema non è necessaria.

Ci sono ancora alcune proprietà caratteristiche di un triangolo equilatero:

• mediana altezza bisettrice in una figura geometrica identici, e la loro lunghezza è calcolato come (a x √3): 2;
• se questo poligono che circoscrive il cerchio, il raggio sarà pari a (a x √3): 3;
• se inscritto in un cerchio triangolo equilatero, il suo raggio sarebbe (a x √3): 6;
• area della figura geometrica viene calcolata con la formula: (a2 x √3): 4.

triangolo obtuse

Per definizione, un triangolo ottusangolo, uno dei suoi angoli è compreso tra 90 a 180 gradi. Ma dato il fatto che gli altri due angoli della forma geometrica tagliente, si può concludere che non superino 90 gradi. Pertanto, la somma degli angoli di un triangolo teorema lavora nel calcolo della somma degli angoli di un triangolo ottuso. Quindi, possiamo tranquillamente dire, sulla base del teorema di cui sopra che la somma degli angoli ottusi di un triangolo è 180 gradi. Ancora una volta, questo teorema non ha bisogno di ri-prova.