518 Shares 4145 views

la regola di Cramer e la sua applicazione

la regola di Cramer – è uno dei metodi esatti per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari (Slough). La sua precisione a causa dell'uso dei determinanti della matrice del sistema, così come alcune delle restrizioni imposte nella dimostrazione del teorema.

Un sistema di equazioni algebriche lineari con coefficienti appartenenti, per esempio, una pluralità di R – numeri reali di incognite x1, x2, …, xn è una raccolta di espressioni

AI2 x1 + AI2 x2 + … ain xn = bi con i = 1, 2, …, m, (1)

dove aij, bi – numeri reali. Ciascuna di queste espressioni è chiamato un'equazione lineare, aij – coefficienti delle incognite, bi – coefficienti indipendenti di equazioni.

soluzione di (1) di cui vettore n-dimensionale x ° = (x1 °, x2 °, …, xn °), in cui la sostituzione nel sistema di incognite x1, x2, …, xn, ciascuna delle linee del sistema diventa un'equazione .

Il sistema è chiamato coerente se ha almeno una soluzione, e incoerente, se coincide con l'insieme soluzione dell'insieme vuoto.

Bisogna ricordare che, al fine di trovare soluzioni ai sistemi di equazioni lineari usando il metodo di Cramer, sistemi a matrice devono essere quadrate, che in pratica significa lo stesso numero di incognite e equazioni del sistema.

Quindi, per utilizzare il metodo di Cramer, si deve almeno sapere che cosa il Matrix è un sistema di equazioni algebriche lineari, ed è rilasciato. E in secondo luogo, di capire quello che viene chiamato il determinante della matrice e le sue capacità di calcolo.

Supponiamo che questa conoscenza si possiede. Meraviglioso! Allora dovete memorizzare solo formule che determinano il metodo Kramer. Per semplificare la memorizzazione utilizzare la seguente notazione:

  • Det – il determinante principale della matrice del sistema;

  • deti – è il determinante della matrice ottenuta dalla matrice primaria del sistema sostituendo i-esima colonna della matrice per un vettore colonna i cui elementi sono il lato destro di equazioni algebriche lineari;

  • n – il numero di incognite ed equazioni del sistema.

Poi di Cramer Metodo di calcolo i-esima xi componente (i = 1, .. n) n-dimensionale vettore x può essere scritta come

xi = deti / Det, (2).

In questo caso, rigorosamente Det diverso da zero.

L'unicità della soluzione del sistema quando esso è fornito congiuntamente dalla condizione disuguaglianza del determinante principale del sistema a zero. Altrimenti, se la somma di (xi), quadrato, strettamente positiva, allora SLAE una matrice quadrata è fattibile. Ciò può verificarsi in particolare quando almeno uno di diverso da zero deti.

Esempio 1. Per risolvere il sistema LAU tridimensionale usando la formula di Cramer.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 – x2 + x3 = 10.

Decisione. Scriviamo la matrice della linea sistema per riga, dove Ai – è l'i-esima riga della matrice.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Colonna coefficienti gratuito B = (31 29 ottobre).

Il sistema principale è il determinante Det
Det = a11 a22 a33 a12 a23 a31 + + a31 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a32 a23 – a33 a21 a12 = 1 – 20 + 12 – 12 + 2 – 10 = -27.

Per calcolare la permutazione DET1 utilizzando A11 = b1, b2 = A21, A31 = b3. poi
DET1 = b1 A22 A33 + A12 A23 b3 + A31 b2 A32 – A13 A22 b3 – b1 A32 A23 – A33 b2 a12 = … = -81.

Analogamente, per calcolare DET2 uso sostituzione a12 = b1, b2 = a22, a32 = b3, e, di conseguenza, per calcolare DET3 – a13 = b1, b2 = A23, A33 = b3.
Poi si può verificare che DET2 = -108, e DET3 = – 135.
Secondo le formule Cramer trovare x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Risposta: x ° = (3,4,5).

Basandosi sulla applicabilità di questa regola, il metodo di Kramer sistemi di equazioni lineari soluzione può essere utilizzata indirettamente, ad esempio, per studiare il sistema sul numero possibile di soluzioni a seconda del valore di un parametro k.

Esempio 2. Per determinare a quali valori del parametro k disuguaglianza | kx – y – 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 ha esattamente una soluzione.

Decisione.
Questa disuguaglianza, per la definizione della funzione modulo può essere eseguita solo se entrambe le espressioni sono simultaneamente zero. Di conseguenza, questo problema si riduce a trovare la soluzione di equazioni algebriche lineari

kx – y = 4,
x + ky = -4.

La soluzione a questo sistema solo se è il determinante principale della
Det = k ^ {2} + 1 è diverso da zero. È chiaro che questa condizione è soddisfatta per tutti i valori reali del parametro k.

Risposta: per tutti i valori reali del parametro k.

Gli obiettivi di questo tipo possono anche essere ridotti molti problemi pratici nel campo della matematica, fisica o chimica.