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Progressione aritmetica

Problemi sulla progressione aritmetica esistevano già in tempi antichi. Furono apparse e richiedevano soluzioni, perché avevano una necessità pratica.


Quindi, in uno dei papiri dell'antico Egitto, che ha un contenuto matematico, il papiro Rhindus (XIX sec. AC) contiene un compito così: ha spogliato dieci misure di pane per dieci persone, a condizione che la differenza tra ognuno di essi sia un'ottava misura ".

E nelle opere matematiche degli antichi greci ci sono teoremi eleganti legati alla progressione aritmetica. Così, la Gipsicle di Alessandria (II sec. AC), che ha compilato molti problemi interessanti e ha aggiunto il quattordicesimo libro ai principi di Euclide, ha formulato l'idea: "In una progressione aritmetica avente un numero pari di termini, la somma dei membri della seconda metà è maggiore della somma dei termini dell'1- Da un numero che è un multiplo della piazza di 1/2 del numero di termini ".

Prendiamo una serie arbitraria di interi positivi (maggiori di zero): 1, 4, 7, … n-1, n, …, che viene chiamata sequenza numerica.

La sequenza a. I numeri di una sequenza sono chiamati i suoi membri e sono di solito indicati da lettere con indici che indicano il numero di serie di questo membro (a1, a2, a3 … leggi: "un primo", "un secondo", "un 3-y" e così via ).

La sequenza può essere infinita o finita.

E che cosa è una progressione aritmetica? Si intende come la sequenza dei numeri ottenuti aggiungendo il termine precedente (n) con lo stesso numero d, che è la differenza della progressione.

Se d 0, una tale progressione è considerata in aumento.

Si dice che una progressione aritmetica sia finita se vengono considerati solo alcuni dei suoi primi termini. Con un numero molto elevato di membri, questa è una progressione infinita.

Ogni progressione aritmetica è data dalla seguente formula:

An = kn + b, con b e k che sono alcuni numeri.

L'affermazione che è il contrario è assolutamente vero: se una sequenza è data da una formula simile, allora è esattamente una progressione aritmetica che possiede le proprietà:

  1. Ogni membro della progressione è la media aritmetica del termine precedente e quella successiva.
  2. Al contrario, se, a partire dal secondo, ogni termine è la media aritmetica del termine precedente e quello successivo, vale a dire. Se la condizione è soddisfatta, questa sequenza è una progressione aritmetica. Questa uguaglianza è anche un segno di progressione, pertanto, di regola, si chiama proprietà caratteristiche della progressione.
    Analogamente, un teorema che riflette questa proprietà è vera: una sequenza è una progressione aritmetica solo se questa uguaglianza è vera per uno dei termini della sequenza, a partire dal secondo.

La proprietà caratteristica per ogni quattro numeri di una progressione aritmetica può essere espressa dalla formula a + am = ak + al se n + m = k + l (m, n, k sono i numeri di progressione).

In una progressione aritmetica, qualsiasi termine necessario (N-th) può essere trovato applicando la seguente formula:

An = a1 + d (n-1).

Ad esempio: viene dato il primo termine (a1) della progressione aritmetica e uguale a tre, e la differenza (d) è pari a quattro. Trova il quarantesimo membro di questa progressione. A45 = 1 + 4 (45-1) = 177

La formula a = ak + d (n – k) ci permette di determinare il nth termine di una progressione aritmetica attraverso uno dei suoi termini k-th, a condizione che sia noto.

La somma dei termini della progressione aritmetica (si intende il primo n termini della progressione finita) è calcolata come segue:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Se è nota la differenza tra la progressione aritmetica e il primo termine, allora un'altra formula è conveniente per il calcolo:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

La somma della progressione aritmetica, che contiene n termini, viene calcolata in questo modo:

Sn = (a1 + an) * n / 2.

La scelta delle formule per i calcoli dipende dalle condizioni dei compiti e dai dati iniziali.

La serie naturale di qualsiasi numero, come 1,2,3, …, n, … è l'esempio più semplice di una progressione aritmetica.

Oltre alla progressione aritmetica, c'è anche una progressione geometrica, che ha le proprie proprietà e caratteristiche.