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Problemi risolti utilizzando l'equazione. Risolvere i problemi della matematica

Nel corso della matematica scolastica ci sono sempre problemi. Alcuni sono somministrati in diversi atti, altri richiedono un po 'di puzzle.

I problemi risolti con l'aiuto dell'equazione sono solo a prima vista difficili. Se praticate, allora questo processo raggiungerà l'automatismo.

Forme geometriche

Per comprendere la domanda, è necessario comprendere l'essenza. Leggere attentamente la condizione, è meglio rileggere più volte. I problemi per le equazioni sono solo a prima vista difficili. Prendiamo in considerazione un esempio per l'inizio più semplice.

Dato un rettangolo, devi trovare la sua area. Dato: la larghezza è del 48% più piccola della lunghezza, il perimetro del rettangolo è di 7,6 centimetri.

La soluzione dei problemi in matematica richiede una lettura attenta, una logica. Facciamolo insieme. Cosa serve per prendere in considerazione innanzitutto? Indicare la lunghezza di x. Pertanto, nella nostra equazione, la larghezza è 0.52x. Ci è dato un perimetro – 7,6 centimetri. Trovamo un mezzo perimetro, per questo 7,6 centimetri dividiamo per 2, è pari a 3,8 centimetri. Abbiamo ottenuto un'equazione con l'aiuto della quale troviamo la lunghezza e la larghezza:

0,52x + x = 3,8.

Quando otteniamo x (lunghezza), non sarà difficile trovare 0.52x (larghezza). Se conosciamo queste due quantità, troviamo la risposta alla domanda principale.

I problemi risolti con l'aiuto dell'equazione non sono così complessi come sembrano, potremmo capirlo dal primo esempio. Abbiamo trovato la lunghezza x = 2,5 centimetri, la larghezza (designeremo y) 0.52x = 1,3 centimetri. Passiamo alla piazza. Si trova dalla semplice formula S = x * y (per rettangoli). Nel nostro problema, S = 3,25. Questa sarà la risposta.

Consideriamo alcuni esempi di risolvere i problemi con la ricerca di un'area. E questa volta prendiamo un rettangolo. Risolvere i problemi della matematica per trovare il perimetro, l'area di diverse figure è molto spesso. Abbiamo letto la condizione del problema: è dato un rettangolo, la sua lunghezza è di 3,6 centimetri maggiore della larghezza, che è di 1/7 del perimetro della figura. Trova l'area di questo rettangolo.

Sarà comodo indicare la larghezza della variabile x e la lunghezza del ( x + 3.6) centimetro. Trovaamo il perimetro:

P = 2x + 3,6 .

Non possiamo risolvere l'equazione, in quanto abbiamo due variabili in esso. Pertanto, guardiamo di nuovo alla condizione. Dice che la larghezza è di 1/7 del perimetro. Otteniamo l'equazione:

1/7 (2x + 3,6) = x .

Per la comodità della soluzione, moltiplicare ogni parte dell'equazione per 7, in modo da sbarazzarsi della frazione:

2x + 3,6 = 7x.

Dopo la soluzione, ottieniamo x (larghezza) = 0,72 centimetri. Conoscendo la larghezza, troviamo la lunghezza:

0,72 + 3,6 = 4,32 cm.

Ora conosciamo la lunghezza e la larghezza, rispondiamo alla domanda principale su ciò che è uguale all'area del rettangolo.

S = x * y , S = 3.1104 cm.

Tubi con latte

Risolvere i problemi con l'aiuto di equazioni provoca molte difficoltà per gli scolari, nonostante questo argomento inizia nel quarto grado. Ci sono molti esempi, abbiamo cercato di trovare l'area delle figure, ora un po 'distratta dalla geometria. Guardiamo semplici compiti con la tabulazione, aiutano visivamente: così i dati che aiutano nella soluzione sono meglio visti.

Invita i bambini a leggere la condizione del problema e creare una tabella per aiutarti a comporre l'equazione. Ecco la condizione: ci sono due lattine, nei primi tre volte più latte che nel secondo. Se il primo versa cinque litri nel secondo, il latte sarà equamente suddiviso. Domanda: quanta latte era in ciascuno?

Per aiutare con la soluzione, è necessario creare una tabella. Cosa dovrebbe sembrare?

La soluzione
Era E 'diventato
1 può 3 3-5
2 lattine x X + 5

Come questo aiuterà nella formulazione dell'equazione? Sappiamo che a causa del latte è diventato uguale, quindi l'equazione sarà simile a questa:

3x-5 = x + 5;

2x = 10;

X = 5.

Abbiamo trovato la quantità iniziale di latte nella seconda lattina, il che significa che nella prima ci sono stati: 5 * 3 = 15 litri di latte.

Ora una piccola spiegazione sulla compilazione del tavolo.

Perché abbiamo designato il primo lattine per 3x: nella condizione è stato stabilito che il secondo cannone di latte è tre volte meno. Poi si legge che 5 litri sono stati scaricati dalla prima bombola, quindi sono diventati 3x-5 , e nel secondo hanno versato: x + 5 . Perché abbiamo equato queste condizioni? Nella condizione del compito si dice che il latte sia diventato uguale.

Così abbiamo la risposta: il primo cannone è di 15 litri, il secondo – 5 litri di latte.

Determinazione della profondità

Dalla condizione del problema: la profondità del primo pozzo è di 3,4 metri più grande del secondo. Il primo pozzo è aumentato di 21,6 metri e la seconda – tre volte, dopo queste azioni i pozzi hanno la stessa profondità. È necessario calcolare la profondità di ciascun pozzo originariamente.

I metodi per risolvere i problemi sono numerosi, si possono fare azioni, creare equazioni o il loro sistema, ma la seconda opzione è più conveniente. Per passare alla soluzione, creiamo una tabella, come nell'esempio precedente.

La soluzione
Era E 'diventato
1 pozzo X + 3.4 X + 3.4 + 21.6
2 pozzetti x 3

Ora ci rivolgiamo alla formulazione dell'equazione. Poiché i pozzetti hanno la stessa profondità, ha la seguente forma:

X + 3,4 + 21,6 = 3x;

X = 3x = -25;

-2x = -25;

X = -25 / -2;

X = 12,5

Abbiamo trovato la profondità originale del secondo pozzo, ora possiamo trovare il primo:

12,5 + 3,4 = 15,9 m.

Dopo le azioni svolte, scriviamo la risposta: 15,9 m, 12,5 m.

Due fratelli

Si noti che questo compito è diverso da tutti i precedenti, poiché per la condizione inizialmente esisteva lo stesso numero di oggetti. Procedendo da questo, la tavola ausiliaria viene redatta in ordine inverso, cioè da "è diventato" a "è stato".

Condizione: due fratelli sono stati dati un numero uguale di noci, ma l'anziano ha dato a suo fratello 10, dopo che i dadi del giovane sono diventati cinque volte grandi. Quanti noci sono presenti per ogni ragazzo?

La soluzione
Era E 'diventato
anziano Х + 10 x
minore 5x – 10 5x

Formiamo l'equazione:

X + 10 = 5x – 10;

-4x = -20;

Х = 5 – è diventato dadi nel fratello maggiore;

5 * 5 = 25 – il fratello minore.

Ora puoi scrivere la risposta: 5 noci; 25 noci.

acquisto

La scuola ha bisogno di acquistare libri e quaderni, il primo più costoso del secondo a 4,8 rubli. Devi calcolare quanto costa un libro e un libro, se hai comprato la stessa quantità di denaro con cinque libri e ventuno notebook.

Prima di procedere a una soluzione, vale la pena rispondere alle seguenti domande:

  • Qual è il problema del problema?
  • Quanto hanno pagato?
  • Cosa hai comprato?
  • Quali valori possono essere livellati?
  • Cosa devi sapere?
  • Qual è il valore di x ?

Se hai risposto a tutte le domande, ci rivolgiamo alla soluzione. In questo esempio, il valore di x può essere considerato come il prezzo di un notebook e il costo del libro. Prendiamo in considerazione due possibili varianti:

  1. X è il costo di un notebook, quindi x + 4,8 è il prezzo del libro. Procedendo da questo, otteniamo l'equazione: 21x = S (x + 4.8).
  2. X è il costo del libro, quindi x è 4,8 è il prezzo del notebook. L'equazione ha la forma: 21 (x – 4.8) = 5x.

Puoi scegliere un'opzione più conveniente per te, quindi risolvere due equazioni e confrontare le risposte, dovrebbero coincidere nel complesso.

Il primo modo

La soluzione della prima equazione:

21x = 5 (x + 4,8);

4,2 h = х + 4,8;

4,2 h – х = 4,8;

3,2 h = 4,8;

Х = 1,5 (rubli) – costo di un notebook;

4.8 + 1.5 = 6.3 (rubli) – il costo di un libro.

Un altro modo per risolvere questa equazione (parentesi d'apertura):

21x = 5 (x + 4,8);

21x = 5x + 24;

16x = 24;

Х = 1,5 (rubli) – costo di un notebook ;

1,5 + 4,8 = 6,3 (rubli) – il costo di un libro.

Il secondo modo

5x = 21 (x = 4,8);

5x = 21x – 100,8;

16x = 100,8;

Х = 6,3 (rubli) – costo di 1 libro;

6.3 – 4.8 = 1.5 (rubli) – il costo di un notebook.

Come si può vedere dagli esempi, le risposte sono identiche, quindi il problema viene risolto correttamente. Guardate per la correttezza della soluzione, nel nostro esempio, le risposte non dovrebbero essere negative.

Ci sono altri problemi che possono essere risolti con l'aiuto di un'equazione, ad esempio, sul movimento. Esaminiamo più in dettaglio nei seguenti esempi.

Due auto

In questa sezione verranno discussi i compiti del moto. Per essere in grado di risolverli, è necessario conoscere la seguente regola:

S = V * T,

S è la distanza, V è la velocità e T è il tempo.

Cerchiamo di considerare un esempio.

Due auto hanno lasciato contemporaneamente dal punto A al punto B. La prima ha percorso tutta la distanza alla stessa velocità, la seconda prima metà della strada ha viaggiato a una velocità di 24 km / h ed il secondo – 16 km / h. È necessario determinare la velocità del primo autista, se nel punto B sono venuti contemporaneamente.

Quello che dobbiamo comporre l'equazione: variabile principale V 1 (velocità della prima vettura), secondaria: percorso S, T 1 – tempo nel percorso della prima vettura. Equazione: S = V 1 * T 1 .

Avanti: la seconda vettura la prima metà della strada (S / 2) ha guidato ad una velocità di V 2 = 24 km / h. Otteniamo l'espressione: S / 2 = 24 * T 2 .

La parte successiva del modo in cui ha guidato ad una velocità V 3 = 16 km / h. Otteniamo S / 2 = 16 * T 3 .

Inoltre dalla condizione è chiaro che le vetture arrivano allo stesso tempo, quindi T 1 = T 2 + T 3 . Ora dobbiamo esprimere le variabili T 1 , T 2 , T 3 dalle nostre precedenti condizioni. Otteniamo l'equazione: S / V 1 = (S / 48) + (S / 32).

S viene considerata come unità e risolviamo l'equazione:

1 / V 1 = 1/48 + 1/32;

1 / V 1 = (2/96) + (3/96);

1 / V 1 = 5/96;

V 1 = 96/5;

V 1 = 19,2 km / h.

Questa è la risposta. I problemi risolti utilizzando l'equazione sono complessi solo a prima vista. Oltre a quanto sopra, è possibile soddisfare le attività di lavoro, ciò che è, considerare nella sezione successiva.

Job Challenge

Per risolvere questo tipo di attività, è necessario conoscere la formula:

A = VT ,

Dove A è il lavoro, V è la produttività.

Per una descrizione più dettagliata, devi dare un esempio. Il tema "Risolvere i problemi con un'equazione" (grado 6) non può contenere tali problemi, dal momento che questo è un livello più complesso, ma tuttavia forniamo un esempio per conoscenza.

Leggere attentamente la condizione: due lavoratori lavorano insieme e prevedono di eseguire per dodici giorni. È necessario determinare quanto tempo prenderà il primo impiegato a soddisfare la stessa norma stessa. È noto che egli esegue la quantità di lavoro per due giorni come un secondo impiegato in tre giorni.

La soluzione dei problemi per la formulazione delle equazioni richiede una lettura attenta della condizione. La prima cosa che abbiamo capito dal compito, che il lavoro non è definito, significa, lo prendiamo come unità, cioè A = 1 . Se il problema si riferisce ad un certo numero di parti o litri, allora il lavoro dovrebbe essere prelevato da questi dati.

Dobbiamo indicare la produttività del primo e del secondo lavoratore rispettivamente attraverso V 1 e V 2 , in questa fase è possibile la seguente equazione:

1 = 12 (V 1 + V 2 ) .

Cosa ci dice questa equazione? Che tutto il lavoro è fatto da due persone in dodici ore.

Inoltre possiamo dichiarare: 2V 1 = 3V 2 . Perché il primo per due giorni fa tanto quanto il secondo in tre. Abbiamo ottenuto un sistema di equazioni:

1 = 12 (V1 + V2);

2V 1 = 3V 2.

Sulla base della soluzione del sistema abbiamo ottenuto un'equazione con una variabile:

1 – 8V 1 = 12V 1;

V 1 = 1/20 = 0,05.

Questa è la produttività del lavoratore del primo lavoratore. Ora possiamo trovare il tempo per cui la prima persona farà fronte a tutto il lavoro:

A = V 1 * T 1;

1 = 0,05 * T 1 ;

T 1 = 20.

Poiché il giorno è stato considerato come unità di tempo, la risposta è: 20 giorni.

Riformulazione del problema

Se hai padroneggiato l'abilità di risolvere i problemi del traffico e hai delle difficoltà con i compiti per il lavoro, allora è possibile ottenere il traffico dal lavoro. In che modo? Se prendiamo l'ultimo esempio, la condizione è la seguente: Oleg e Dima si muovono verso l'altro, si incontrano in 12 ore. Per quanti supereranno il percorso indipendentemente Oleg, se è noto che in due ore percorre la strada a Dima in tre ore.