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serie di Fourier: la storia e l'influenza del meccanismo matematico per lo sviluppo della scienza

Fourier serie – questa vista funzioni arbitrariamente scelto per il periodo consecutivo. In termini generali, questa soluzione si chiama l'organo di espansione su base ortogonale. L'espansione delle funzioni in serie di Fourier è piuttosto potente strumento per risolvere i vari problemi dovuti alle proprietà della trasformazione nell'integrazione, differenziazione, nonché un cambiamento nell'espressione discussione e convoluzione.


Una persona che non ha familiarità con la matematica superiore, così come con le opere dello scienziato Fourier francese, molto probabilmente non capirà ciò che il "ranghi" e quello che fanno. Eppure questa trasformazione è molto fermamente entrata nella nostra vita. Esso è utilizzato non solo la matematica, ma anche fisici, chimici, medici, astronomi, sismologi, oceanografi e altri. Facciamo anche un'occhiata più da vicino con le opere del grande scienziato francese che ha fatto la scoperta, in anticipo sui tempi.

L'uomo e la trasformata di Fourier

serie di Fourier è uno dei metodi (insieme all'analisi e altri) della trasformata di Fourier. Questo processo avviene ogni volta che una persona sente alcun suono. Il nostro orecchio converte automaticamente l'onda sonora. movimento oscillatorio delle particelle elementari in un mezzo elastico sono espanse nella serie (spettro) valori di volume successivi per i toni di diverse altezze. Successivamente, il cervello trasforma questi dati in suoni familiari per noi. Tutto questo è in aggiunta al nostro desiderio o la coscienza stessa, ma al fine di comprendere i processi che hanno diversi anni a studiare matematica superiore.

Per saperne di più la trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier può essere effettuata analitica, numeri e altri metodi. serie di Fourier sono processo numerale per decomporre eventuali processi oscillatori – dalle maree e le onde di luce a cicli solari (e altri oggetti astronomici) attività. Usando queste tecniche matematiche, è possibile smontare la funzione, che rappresenta eventuali processi oscillatori in un numero di componenti sinusoidali che vanno dal minimo al massimo e viceversa. La trasformata di Fourier è una funzione che descrive la fase e l'ampiezza delle sinusoidi corrispondenti ad una particolare frequenza. Questo processo può essere utilizzato per risolvere una molto complesse equazioni che descrivono i processi dinamici che si verificano sotto l'azione di calore, luce o energia elettrica. Inoltre, la serie di Fourier utilizzato per distinguere componenti DC in forme d'onda complesse, rendendo possibile interpretare correttamente le osservazioni sperimentali in medicina, chimica e astronomia.

informazioni storiche

Il padre fondatore di questa teoria è il matematico francese Zhan Batist Zhozef Fure. Il suo nome più tardi e questa trasformazione è stato chiamato. Inizialmente, gli scienziati hanno usato una tecnica per studiare e spiegare i meccanismi della conducibilità termica – propagazione del calore nei solidi. Fourier suggerito che la distribuzione irregolare iniziale dell'onda termica può essere scomposto in semplice sinusoide, ciascuna delle quali avrà la sua temperatura minima e massima, così come la sua fase. Così ciascuno di questi componenti deve essere misurata dal minimo al massimo e viceversa. La funzione matematica che descrive i picchi superiori ed inferiori della curva, così come la fase di ogni armonica, chiamata la trasformata di Fourier della distribuzione di temperatura di espressione. L'autore della teoria della ridotta funzione distribuzione complessiva che è difficile da descrizione matematica, in modo molto facile gestire un certo numero di funzioni periodiche di seno e coseno, nella quantità di dare la distribuzione iniziale.

Il principio di conversione e il punto di vista dei contemporanei

I contemporanei dello scienziato – i matematici più importanti del primo Ottocento – non hanno accettato questa teoria. L'obiezione principale era l'approvazione di Fourier che la funzione discontinua descrive una linea retta o curva è lacerato, può essere rappresentata come una somma di espressioni sinusoidali che sono continui. Come esempio, si consideri un "passo" Heaviside: il suo valore è zero a sinistra del gap e quella a destra. Questa funzione descrive la dipendenza della corrente elettrica sulla variabile tempo per la catena di chiusura. teoria contemporanea in quel momento, non aveva mai incontrato una tale situazione, quando l'espressione discontinua sarebbe descritto da una combinazione di continue, funzioni comuni, come esponenziale, sinusoidale, lineare o quadratica.

Che fastidio i matematici francesi nella teoria di Fourier?

Dopo tutto, se un matematico era giustamente concluso, poi, sommando una serie di Fourier trigonometriche infinita, è possibile avere una rappresentazione accurata della fase di espressione, anche se ha un insieme di misure analoghe. Nei primi anni del XIX secolo, questa affermazione sembrava assurdo. Ma nonostante tutti i dubbi, molti matematici hanno ampliato il campo di studio di questo fenomeno, spostandolo oltre agli studi di conduzione termica. Tuttavia, la maggior parte degli scienziati hanno continuato a subire la domanda: "Può la somma della serie onda sinusoidale converge al valore esatto di una funzione discontinua"

Convergenza della serie di Fourier: esempio

La questione della convergenza sorge ogni volta che è necessario la somma di una serie infinita di numeri. considerare un classico esempio per la comprensione di questo fenomeno. Si può mai raggiungere il muro, se ogni passo è la metà del precedente? Supponete di essere due metri dalla meta, il primo passo più vicino a circa metà strada, il prossimo – il segno di tre quarti, e dopo la quinta, riuscirete a superare quasi il 97 per cento del modo. Tuttavia, non importa quanti passi hai fatto nessuno dei due, il bersaglio si raggiunge in un senso matematico rigoroso. Utilizzando calcoli numerici, si può dimostrare che alla fine può essere più vicino ad un arbitrariamente piccola distanza data. Ciò equivale a una prova che dimostra che il valore totale di una metà, un quarto, e così via. E. tenderanno a unità.

La questione della convergenza: la seconda venuta, o strumento di Lord Kelvin

Ripetutamente la questione è stata sollevata alla fine del XIX secolo, quando la serie di Fourier hanno cercato di utilizzare per prevedere l'intensità dei flussi e riflussi. A quel tempo, Lord Kelvin stato inventato dispositivo è un computer analogico che ha consentito velisti marina e monitorare marina mercantile è un fenomeno naturale. Questo insieme meccanismo definito di fasi e ampiezze dell'altezza tavola delle maree ei momenti temporali corrispondenti, accuratamente misurate nel porto durante tutto l'anno. Ciascun parametro è una sinusoidale altezze espressione componente marea ed era uno dei componenti regolare. I risultati di misura vengono immessi nel dispositivo di elaborazione Lord Kelvin, sintetizzando curva che prevede altezza dell'acqua in funzione dell'anno successivo. Molto presto, queste curve sono stati elaborati per tutti i porti del mondo.

E se il processo sarà rotto funzione discontinua?

A quel tempo, sembrava ovvio che il dispositivo prevedere una marea, con molti elementi del conto può calcolare un gran numero di fasi e ampiezze, e quindi fornire una previsione più accurata. Tuttavia, si è scoperto che questo modello non è osservata nei casi in cui l'espressione di marea che verrà sintetizzato, conteneva un salto tagliente, cioè, sono discontinui. Nel caso in cui l'apparecchiatura per immettere dati da una tabella di punti di tempo, esso calcola alcuni coefficienti di Fourier. Recuperare la funzione originale dovuta alla componente sinusoidale (conformemente coefficienti trovato). La discrepanza tra l'originale e l'espressione ricostruita può essere misurata in qualsiasi punto. Quando i calcoli di ripetizione e confronti può vedere che il valore del massimo errore non viene ridotta. Tuttavia, essi sono localizzati nella regione corrispondente al punto di rottura, e qualsiasi altro punto tendono a zero. Nel 1899, questo risultato è stato confermato in teoria Joshua Willard Gibbs della Yale University.

Convergenza della serie di Fourier e lo sviluppo della matematica nel suo complesso

analisi di Fourier non si applica alle espressioni che contengono un numero infinito di burst in un certo intervallo. In serie di Fourier generale, se la funzione originale è rappresentato dal risultato delle misurazioni fisiche reali, sempre convergere. Domande di convergenza di questo processo per specifiche classi di funzioni hanno portato a nuovi rami della matematica, come la teoria delle funzioni generalizzate. Si è associato con nomi come Schwartz, J .. Mikusiński e J. Temple. Sotto questa teoria, una base teorica chiara e precisa per tale espressione è stato stabilito come la funzione delta di Dirac (che descrive la regione di una singola area, concentrata in un quartiere infinitesimale del punto) e "step" Heaviside. Attraverso questo lavoro serie di Fourier è divenuta applicabile per risolvere le equazioni e problemi, che coinvolgono concetti intuitivi: carica punto, massa punto, dipoli magnetici, e il carico concentrato sulla trave.

metodo di Fourier

serie di Fourier, in conformità con i principi di interferenza, iniziano con la decomposizione di forme complesse in più semplici. Ad esempio, un cambiamento nel flusso di calore grazie al suo passaggio attraverso le varie barriere del materiale termoisolante di forma irregolare isolante o cambiando superficie del terreno – un terremoto, un cambiamento nell'orbita del corpo celeste – l'influenza dei pianeti. Tipicamente, queste equazioni che descrivono semplice elementare sistema classico risolti per ogni singola lunghezza d'onda. Fourier ha dimostrato che le soluzioni semplici possono essere riassunte come per compiti più complessi. Nel linguaggio della matematica, Fourier serie – una metodologia per la presentazione di somma espressione armonica – coseno e onde sinusoidali. Pertanto, questa analisi è noto anche sotto il nome di "analisi armonica".

serie di Fourier – un metodo ideale per l ' "età del computer"

Prima della creazione della tecnologia informatica metodo di Fourier è la migliore arma nell'arsenale di scienziati che lavorano con la natura ondulatoria del nostro mondo. Serie di Fourier in forma complessa permette di risolvere non solo i problemi semplici che sono suscettibili di applicazione diretta delle leggi della meccanica di Newton, ma anche le equazioni fondamentali. La maggior parte delle scoperte della scienza newtoniana del XIX secolo, è diventato possibile solo a causa del metodo di Fourier.

serie di Fourier oggi

Con lo sviluppo della trasformata di Fourier computer sono aumentati ad un nuovo livello. Questa tecnica è saldamente radicata in quasi tutti i campi della scienza e della tecnologia. A titolo di esempio, un audio e video digitali. La sua attuazione è stata resa possibile solo grazie alla teoria sviluppata dal matematico francese del primo Ottocento. Così, la serie di Fourier in forma complessa ha permesso di fare un passo avanti nello studio dello spazio. Inoltre, essa ha colpito lo studio della fisica dei materiali semiconduttori e plasma, acustica microonde, oceanografia, radar, sismologia.

serie trigonometriche Fourier

In matematica, una serie di Fourier è un modo per rappresentare funzioni complesse arbitrarie come somma di più semplice. In casi generali, il numero di espressioni può essere infinita. Maggiore è il numero conteggiato nel calcolo, più accurato il risultato finale si ottiene. L'uso più comune di semplice coseno trigonometrico o funzione seno. In questo caso, la serie di Fourier è chiamato trigonometriche, e la decisione di tali espressioni – la decomposizione armonica. Questo metodo ha un ruolo importante nella matematica. Prima di tutto, la serie trigonometrica fornisce un mezzo per l'immagine, nonché lo studio di funzioni, è l'unità principale della teoria. Inoltre, ci permette di risolvere una serie di problemi di fisica matematica. Infine, questa teoria ha contribuito allo sviluppo di analisi matematica, ha dato luogo ad una serie di importanti branche della scienza matematica (teoria degli integrali, la teoria delle funzioni periodiche). Inoltre, il punto di partenza per lo sviluppo dei seguenti teorie: insiemi, funzioni di una variabile reale, analisi funzionale, e anche posto le basi per analisi armonica.