Come calcolare l'area di una piramide: la base, laterale e completa?

In preparazione per l'esame di studenti di matematica hanno di sistematizzare la conoscenza di algebra e geometria. Vorrei unire tutte le informazioni note, come il modo di calcolare l'area di una piramide. Inoltre, a partire dal fondo e facce laterali finché tutta la superficie. Se le facce laterali la situazione è chiara, come sono triangoli, la base è sempre diverso.

Come essere quando l'area della base della piramide?

Può essere abbastanza qualsiasi figura da un triangolo arbitrario alla n-gon. E questa base, tranne la differenza nel numero di angoli, può essere quella corretta o errata. Nell'interesse di compiti studenti sull'esame trovato solo i lavori con le cifre corrette nella base. Pertanto, parleremo solo di loro.

triangolo equilatero

Che è equilatero. Uno che tutte le parti sono uguali e sono indicate con la lettera "a". In questo caso, la superficie di base della piramide è calcolato dalla formula:

S = ⁽² * √3) / 4.

piazza

La formula per calcolare la sua area è il più semplice, è "A" – lato è ancora una volta:

E S = ^2.

Arbitraria regolare n-gon

Ai lati del poligono la stessa denominazione. Per il numero di angoli utilizzati latino lettera n.

S = (n * ²⁾ / (4 * tg (180 ° / n)) .

Come entrare nel calcolo della superficie della superficie laterale e pieno?

Poiché la figura base è corretta, allora tutte le facce della piramide sono uguali. Ciascuno dei quali è un triangolo isoscele, dal momento che i bordi laterali sono uguali. Poi, per calcolare l'area di un lato della piramide bisogno formula costituito dalla somma di monomi identici. Il numero di termini è determinata dalla quantità dei lati di base.

L'area di un triangolo isoscele è calcolato dalla formula in cui metà del prodotto di base è moltiplicato per l'altezza. Questa altezza nella piramide chiamato apotema. La sua denominazione – "A". La formula generale per l'area della superficie laterale è la seguente:

S = ½ P * A, dove P – perimetro della base della piramide.

Ci sono momenti in cui non è noto al lato di base, ma i bordi laterali sono (a) piatta e l'angolo al vertice (α). Poi si basa utilizzare la seguente formula per calcolare la zona laterale della piramide:

S = n / 2 a ² * α peccato.

Task № 1

Condizioni. Trova l'area totale della piramide, se la base è un triangolo equilatero con un lato di 4 cm e ha il valore √3 apotema cm.

Decisione. Si dovrebbe iniziare con il calcolo del perimetro di base. Poiché questo è un triangolo regolare, allora P = 3 * 4 = 12 centimetri apotema Come è noto, si può calcolare immediatamente l'area dell'intera superficie laterale :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Per ottenere il triangolo di base è il valore dell'area (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Per determinare l'intera area necessario ripiegare i due valori risultanti: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Risposta. 10√3 ^cm2.

Problema № 2

Condizioni. C'è una piramide quadrangolare regolare. La lunghezza della base è pari a 7 mm, il bordo laterale – 16 mm. È necessario conoscere la sua superficie.

Decisione. Poiché il poliedro – rettangolare e corretta, alla sua base è un quadrato. Sentite superficie di base e fianchi laterali poter contare piramide quadrata. La formula per il quadrato è dato sopra. E so che tutte le facce laterali del triangolo. Pertanto, è possibile utilizzare la formula di Heron per calcolare le loro aree.

I primi calcoli sono semplici e portano a questo numero: 49 mm ^2. Per calcolare il secondo valore necessario semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 millimetri. Ora siamo in grado di calcolare l'area di un triangolo isoscele: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54,644 mila millimetri ^2. Ci sono quattro triangoli, in modo che quando il calcolo dei numeri finali dovranno essere moltiplicato per 4.

Ottenuto: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Risposta. 267,576 desiderato valore di ² mm.

Task № 3

Condizioni. A regolare piramide quadrangolare è necessario calcolare l'area. È noto lato del quadrato – 6 cm e altezza – 4 cm.

Decisione. Il modo più semplice per utilizzare la formula per il prodotto del perimetro e apotema. Il primo valore è trovato semplicemente. La seconda un po 'più difficile.

Dovremo ricordare il teorema di Pitagora e prendere in considerazione un triangolo rettangolo. Esso è formato dalla altezza della piramide e apotema, che è l'ipotenusa. La seconda gamba è la metà del lato del quadrato, come un'altezza poliedro cade nel mezzo di esso.

apotema favorita (l'ipotenusa di un triangolo rettangolo) è uguale a √ (Marzo ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Ora è possibile calcolare il valore desiderato: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 = ² 96 (cm ^2).

Risposta. 96 cm ^2.

Problema № 4

Condizioni. Dana regolare piramide esagonale. I lati della sua base pari a 22 mm, i bordi laterali – 61 mm. Qual è l'area della superficie laterale di questo poliedro?

Decisione. Il ragionamento in essa sono gli stessi come descritto nel №2 compito. Solo la piramide fu dato lì al quadrato alla base, ed ora è un esagono.

Il primo passo è calcolata con la superficie di base della precedente formula ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180 ° / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Ora è necessario trovare mezza perimetro di un triangolo isoscele, che è una faccia laterale. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 rimane sulla formula di Heron per calcolare l'area di ogni del triangolo, e poi moltiplicarlo per sei volte e quello che si è rivelato alla base.

Calcoli su formula di Heron: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 cm ^2. I calcoli che fornirà laterale Superficie: 660 * 6 = 3960 centimetri ^2. Resta da aggiungere in su per scoprire tutta la superficie: 5217,47≈5217 cm ^2.

Risposta. Motivi – 726√3 cm ^2, la superficie laterale – 3960 cm ^2, l'intera area – 5217 cm ^2.