Maclaurin e la decomposizione di alcune funzioni

Studiare matematica avanzata dovrebbe essere consapevole che la somma di una serie di potenze nell'intervallo di convergenza di una serie di noi, è un numero continuo e illimitato di volte una funzione differenziata. Sorge la domanda: è possibile sostenere che dato un arbitrario funzione f (x) – è la somma di una serie di potenze? Cioè, in quali condizioni l'F-zioni f (x) può essere rappresentato da una serie di potenze? L'importanza di questo problema è che è possibile sostituire circa £ Theological f (x) è la somma dei primi termini di una serie di potenze, cioè un polinomio. Tale funzione di sostituzione è espressione abbastanza semplice – polinomiale – è conveniente e risoluzione di alcuni problemi in analisi matematica, cioè nel risolvere integrali nel calcolo equazioni differenziali , ecc …

E 'dimostrato che, per qualche f f-ii (x), in cui i derivati della (n + 1) -esimo ordine possono essere calcolate, compresa l'ultima in prossimità di (α – R; x ₀ + R) di un punto x = α fair formula è la seguente:

Questa formula prende il nome dal famoso scienziato Brooke Taylor. Un certo numero di che è derivato dal precedente, è chiamato una serie Maclaurin:

Una regola che rende possibile la produzione di espansione in serie Maclaurin:

1. Determine derivati del primo, secondo, terzo, … ordine.
2. Calcola quali sono derivati al x = 0.
3. Registra serie di Maclaurin per questa funzione, e quindi di determinare l'intervallo di convergenza.
4. Determinare intervallo (-R, R), dove la parte residua di formula Maclaurin

R _n (x) -> 0 per n -> infinito. Se esiste, è funzione f (x) deve essere uguale alla somma della serie di Maclaurin.

Consideriamo ora la serie di Maclaurin per le singole funzioni.

1. Pertanto, il primo ad essere f (x) = e ^x. Naturalmente, che le loro caratteristiche lo f-Ia è derivata una varietà di ordini, e f ^{(k) (x)} = e ^x, dove k è uguale a tutti i numeri naturali. Sostituto x = 0. Otteniamo f ^{(k) (0)} = ⁰ e = 1, k = 1,2 … base di quanto precede, una serie di e ^x Esso sarà il seguente:

2. serie di Maclaurin per la funzione f (x) = sin x. precisare subito che F-zioni per tutti i prodotti derivati sconosciuti avranno, oltre f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ …, f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), dove k è uguale a qualsiasi numero intero positivo. Cioè, fare calcoli semplici, possiamo concludere che la serie di f (x) = sin x sarà così:

3. Consideriamo ora IJU f-f (x) = cos x. Non è noto per tutti i derivati di ordine arbitrario, e ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 … Ancora una volta, dopo aver fatto alcuni calcoli, si scopre che la serie per f (x) = cos x sarà simile a questa:

Così, abbiamo elencato le caratteristiche più importanti che può essere espansa in una serie di Maclaurin, ma integrare la serie di Taylor per alcune funzioni. Ora li elencheremo pure. Va inoltre notato che in serie di Taylor e la serie di Maclaurin sono una parte importante della serie di workshop delle decisioni in matematica superiore. Così, serie di Taylor.

1. Il primo è una serie di f-ii f (x) = ln (1 + x). Come negli esempi precedenti, per questo abbiamo f (x) = ln (1 + x) può essere ripiegato un numero, utilizzando la forma generale di serie di Maclaurin. ma per questa caratteristica Maclaurin può essere ottenuto molto più facile. Integrando una serie geometrica, si ottiene un numero di f (x) = ln (1 + x) del campione:

2. E il secondo, che sarà finale di questo articolo, sarà una serie di f (x) = x arctg. Per x appartenenti all'intervallo [-1; 1] è valida decomposizione:

Questo è tutto. In questo articolo ho esaminato la serie più utilizzato Taylor e serie di Maclaurin in matematica superiore, in particolare nei collegi economici e tecnici.