paradosso di Russell: informazioni di base, esempi, formulazione

Russell paradosso è di due interdipendenti antinomia logico.

Due forme di paradosso di Russell

La forma più frequentemente discusso di una contraddizione in gruppi logici. Alcuni del set sembra essere i membri stessi, e altri – n. L'insieme di tutti gli insiemi è esso stesso un insieme, così sembra che si riferisce a se stessa. Nullo o vuoto, tuttavia, non deve essere un membro di se stesso. Pertanto, l'insieme di tutti gli insiemi, come zero non è incluso in sé. Il paradosso nasce quando la questione se l'insieme di un membro di se stesso. Questo è possibile se e solo se non lo è.

Un'altra forma paradosso è una contraddizione per quanto riguarda le proprietà. Alcune proprietà, sembra riferirsi a se stessi, mentre altri non lo sono. La proprietà di essere la struttura in sé è una proprietà, mentre la proprietà che si tratti di un gatto non è. Si consideri la proprietà di avere una proprietà che non gli appartiene. se si applica a se stesso? Di nuovo, qualsiasi ipotesi dovrebbe essere il contrario. Il paradosso è stato chiamato in onore di Bertrand Russell (1872-1970), che la scoprì nel 1901.

storia

Apertura Russell si sono verificati durante il suo lavoro in "Principi di Matematica". Anche se ha scoperto il paradosso in modo indipendente, ci sono prove che altri matematici e gli sviluppatori della teoria degli insiemi, tra cui Ernst Zermelo e David Hilbert, erano a conoscenza della prima versione di contraddizioni prima di lui. Russell, tuttavia, è stato il primo che ha discusso in dettaglio il paradosso nelle sue opere pubblicate, prima ha cercato di formulare soluzioni e la prima per apprezzare appieno il suo significato. Un intero capitolo della "Principi" è stato dedicato alla discussione di questo problema, e l'applicazione è stata dedicata alla teoria dei tipi, che Russell ha proposto come soluzione.

Russell ha scoperto il "paradosso del mentitore', considerando la teoria degli insiemi di Cantor che dice che il potere di qualsiasi set è più piccola della serie di suoi sottoinsiemi. Almeno nel dominio dovrebbe essere tanti sottoinsiemi quanti sono gli elementi in esso, se uno sottoinsieme di ciascun elemento è impostato contenente solo questo elemento. Inoltre, Cantor ha dimostrato che il numero di elementi non può essere uguale al numero di sottoinsiemi. Se ci fosse lo stesso numero, avrebbe dovuto esistere ƒ caratteristica che visualizzerebbe elementi sulla loro sottoinsiemi. Allo stesso tempo si può dimostrare che questo è impossibile. Alcuni articoli possono essere visualizzati su sottoinsiemi la funzione ƒ che li contengono, mentre altri non possono.

Si consideri il sottoinsieme di elementi che non appartengono alle loro immagini, in cui si mostrano ƒ. Essa stessa è un sottoinsieme di elementi, e quindi, ƒ funzione dovrebbe visualizzare su un elemento nel dominio. Il problema è che poi pone la questione se tale elemento appartiene al sottoinsieme cui esso visualizza ƒ. Questo è possibile solo se non appartiene. paradosso di Russell può essere visto come un esempio della stessa linea di ragionamento, semplificata soltanto. Che cosa è più – i set o sottoinsiemi del set? Sembrerebbe che non ci dovrebbe essere più set, come tutti i sottoinsiemi degli insiemi stessi. Ma se il teorema di Cantor è vero, allora non ci dovrebbero essere più sottogruppi. Russell considerato semplicemente visualizzare insiemi su se stessi e applicata approccio kantoriansky considerando l'insieme di tutti questi elementi, al di fuori di un insieme in cui sono visualizzati. Mostrando Russell diventa l'insieme di tutti gli insiemi, un non.

errore di Frege

"Il paradosso del mentitore" ha avuto un profondo impatto sullo sviluppo storico della teoria degli insiemi. Egli ha dimostrato che il concetto di insieme universale è altamente problematico. Egli ha anche messo in dubbio l'idea che per ogni condizione o predicato definito può assumere l'esistenza di una pluralità di solo quelle cose che soddisfano questa condizione. Opzione paradosso riguardante le proprietà – una naturale estensione per i set di versione – ha sollevato seri dubbi sul fatto che sia possibile discutere l'esistenza oggettiva di una proprietà o di un conformismo universale ad ogni determinata dalla condizione, o predicato.

Ben presto sono stati trovati le contraddizioni e problemi nel lavoro dei logici, filosofi e matematici che hanno fatto ipotesi simili. Nel 1902, Russell ha scoperto che una variante del paradosso può essere espressa in un sistema logico, sviluppato nel volume I "Fondamenti dell'aritmetica" di Gottlob Frege, una delle principali opere sulla logica della fine del XIX – inizi del XX secolo. Nella filosofia di Frege molti intesa come una "estensione" o concetto "valore-range". I concetti sono più vicino a quelli dei correlati. Essi sono tenuti a esistere per qualsiasi condizione o predicato. Quindi, v'è un concetto di un insieme che non rientra nel suo concetto definizione. C'è anche una classe definita da questo concetto, ed è soggetto a definire il suo concetto solo se non lo è.

Russell scrisse a Frege di questo conflitto nel giugno 1902 Corrispondenza è diventato uno dei più emozionanti e ha parlato della storia della logica. Frege riconobbe immediatamente le disastrose conseguenze del paradosso. Egli ha osservato, tuttavia, che la versione della polemica per quanto riguarda le proprietà a sua filosofia è stato risolto distinguendo tra i concetti di livelli.

nozione di Frege intesa come la transizione dagli argomenti della funzione TRUE. I concetti primo livello prendendo come argomenti gli oggetti del secondo concetti di livello prendono come argomenti a queste funzioni, e così via. Così, il concetto può mai prendersi come argomento, e il paradosso in termini di proprietà non può essere formulata. Tuttavia insiemi, espansione o concetti Frege intendono fatti allo stesso tipo logico come quella di tutti gli altri oggetti. Poi per ogni insieme v'è un problema se cade sotto il concetto di definirla.

Quando Frege, Russell ha ricevuto la prima lettera, il secondo volume di "Fondamenti di aritmetica" è già finito di stampa. Fu costretto a preparare rapidamente un'applicazione che fornisce una risposta al paradosso di Russell. Esempi Frege contenevano una serie di possibili soluzioni. Ma egli è giunto alla conclusione di indebolire il concetto di insieme astrazione in una logica di sistema.

In originale, è stato possibile concludere che l'oggetto appartiene all'insieme se e solo se rientra nel concetto, definisce. Il sistema modificato può concludere che l'oggetto appartiene all'insieme se e solo se rientra nella nozione di definente una pluralità, ma non impostato in questione. paradosso di Russell si pone.

La soluzione, tuttavia, non è del tutto soddisfatto Frege. E questo è stato il motivo. Diversi anni dopo, forma più complessa della contraddizione è stata trovata per il sistema riveduto. Ma anche prima di questo è accaduto, Frege abbandonato le sue decisioni e sembrano giungere alla conclusione che il suo approccio era semplicemente impraticabile, e che la logica dovrà fare a meno di nessuno dei set.

Ancora sono state proposte altre soluzioni alternative relativamente più successo. Questi sono discussi qui di seguito.

La teoria dei tipi

È stato osservato sopra che Frege è una risposta adeguata ai paradossi della teoria degli insiemi nella versione formulati per le proprietà. La risposta di Frege è stata preceduta dalla soluzione più discussi a questa forma di paradosso. Si basa sul fatto che le proprietà sono soggette a diversi tipi e che tipo di proprietà è mai uguale gli elementi a cui si riferisce.

Così, nemmeno si pone la questione, se la proprietà è applicabile a se stesso. linguaggio logico, che separa gli elementi di una tale gerarchia, utilizzando la teoria dei tipi. Anche se è già utilizzato da Frege, la prima volta che viene completamente spiegato e motivata Russell in allegato al "principio". La teoria dei tipi era più completo rispetto della distinzione dei livelli di Frege. Ha condiviso le proprietà non sono solo diversi tipi di logica, ma anche impostare. digitare la teoria di risolvere la contraddizione nel paradosso di Russell segue.

Al fine di essere un filosoficamente adeguata, l'adozione della teoria dei tipi di proprietà richiede lo sviluppo della teoria della natura delle proprietà in modo che potrebbe spiegare il motivo per cui non possono essere applicate a se stessi. A prima vista, ha senso predicare loro proprietà. La proprietà di essere auto-identità, sembrerebbe, è anche un auto-identità. La proprietà sembra essere un bel piacevole. Allo stesso modo, a quanto pare, sembra falso dire che la proprietà di essere un gatto è un gatto.

Tuttavia, vari pensatori giustificato la divisione di diversi tipi. Russell ha dato anche diverse spiegazioni in momenti diversi della sua carriera. Da parte sua, il razionale per la separazione dei diversi concetti di livelli Frege proviene dalla teoria dei concetti insaturi. Concetti come la funzione, in sostanza, sono incompleti. Per fornire un valore, hanno bisogno di una discussione. Non solo un concetto può predicare il concetto dello stesso tipo, in quanto richiede ancora la sua tesi. Ad esempio, anche se è possibile prendere la radice quadrata della radice quadrata di un numero, non si può semplicemente utilizzare una funzione di radice quadrata alla funzione radice quadrata e ottenere un risultato.

A proposito di proprietà conservatorismo

Un'altra soluzione possibile è la proprietà paradosso proprietà negazione esistenza sotto qualsiasi condizione, o un predicato ben formato. Naturalmente, se qualcuno evita proprietà metafisiche di entrambi gli elementi oggettivi e indipendenti nel loro complesso, se prendiamo il nominalismo paradosso può essere evitato del tutto.

Tuttavia, per risolvere l'antinomia non deve essere così estremo. sistemi di ordine superiore logici sviluppati Frege e Russell, contengono quello che viene chiamato un principio concettuale, secondo il quale ciascun formule aperte indipendentemente dal complesso esiste come parte di una struttura o di un concetto per esempio, solo gli elementi che corrispondono alla formula. Hanno applicato per gli attributi di ogni possibile insieme di condizioni o predicati, non importa quanto complessa fossero.

Tuttavia, è stato possibile prendere una più rigorosa proprietà metafisica, dando il diritto alla esistenza oggettiva di semplici proprietà, tra cui, ad esempio, come il colore rosso, la fermezza, la gentilezza e così via. D. È anche possibile lasciare che queste proprietà si applicano a se stessi, come ad esempio la gentilezza può essere gentile.

E lo stesso stato per attributi complessi può essere negato, per esempio, tali "proprietà" come avente diciassette teste, essere-scritte sotto-acqua e simili. D. In questo caso, nessuna condizione predeterminata non soddisfa la proprietà, intesa come separatamente elemento, che ha le sue proprietà esistente. Così si può negare l'esistenza di semplici proprietà be-proprietà-che-non-applicata-di-sé e per evitare il paradosso applicando più conservatori proprietà metafisiche.

paradosso di Russell: la soluzione

Sopra è stato osservato che, alla fine della sua vita Frege completamente abbandonato la logica del set. Questo, naturalmente, una soluzione per l'antinomia sotto forma di insiemi: un semplice negazione dell'esistenza di tali elementi nel suo complesso. In aggiunta, ci sono altre scelte popolari, i principi fondamentali di cui sono riportati di seguito.

La teoria per molti tipi di

Come accennato in precedenza, Russell ha giocato per una teoria più completa di tipologie, che avrebbero condividere non solo le proprietà o concetti di diversi tipi, ma anche impostare. Russell condiviso impostato su una pluralità di unità separate, una pluralità di insiemi di oggetti separati, ecc Gli insiemi di oggetti non sono stati considerati, e una pluralità di serie – .. set. Un sacco di mai apprezzato il tipo, ti permette di avere come membro di se stesso. Pertanto non v'è nessun insieme di tutti gli insiemi che non sono membri di un proprio, perché per ogni serie di domande sul fatto che è come un membro, è di per sé un tipo di violazione. Anche in questo caso, il problema è quello di spiegare i set metafisica per spiegare i fondamenti filosofici della divisione in tipi.

stratificazione

Nel 1937, V. V. Kuayn ha offerto una soluzione alternativa, in modo simile alla teoria dei tipi. informazioni di base su di esso sono.

Separare insiemi di elementi e altri. Fatti in modo che l'ipotesi di trovare una pluralità è sempre corretto o priva di significato. Imposta può essere fornita solo al momento di definire le loro condizioni non sono un tipo di violazione. Così, per Quine, l'espressione "x non è un utente di x" è la dichiarazione significativa non implica l'esistenza di un insieme di tutti gli elementi x che soddisfano questa condizione.

In questo sistema esiste un set per qualche formula aperta A se e solo se è stratificata, t. E. Se le variabili sono assegnati numeri interi positivi tali che per ogni occorrenza caratteristica di una pluralità di precede variabile viene assegnato all'unità assegnazione minore della variabile, seguito dopo di lui. Questo paradosso blocchi di Russell, dal momento che la formula utilizzata per determinare il set di problema, v'è la stessa prima e dopo il segno di appartenenza variabile che lo rende non stratificato.

Ma ha ancora determinare se il sistema risultante, che Quine chiama "Nuovi fondamenti della logica matematica" coerente.

rifiuto

Un approccio completamente diverso è preso nella teoria di Zermelo – Fraenkel (ZF). Anche qui, impostare un limite sull'esistenza di set. Al contrario, l'approccio "top-down" di Russell e Frege, che inizialmente pensava che per tutti i concetti, le proprietà, o condizioni può suggerire l'esistenza del l'insieme di tutte le cose con la proprietà o per soddisfare tale condizione, in ZF-teoria, tutto comincia "dal basso verso l'alto".

singoli elementi della insieme vuoto e formano un insieme. Pertanto, a differenza dei sistemi precedenti e Russell Frege FIT non appartiene al set universale che comprende tutti gli elementi e anche tutti i set. ZF pone limiti severi per l'esistenza di insiemi. Può esistere soltanto quelli per cui è chiaramente postulato o che possono essere formulati mediante procedimenti iterativi e simili. D.

Poi, invece del concetto astrazione set naif che stabilisce che un particolare elemento è incluso nel set se e solo se soddisfa le condizioni del principio di separazione utilizzato DF, separazione o "sorting". Invece di assumere l'esistenza dell'insieme di tutti gli elementi che sono senza eccezione soddisfare una certa condizione, per ogni insieme esistente Aussonderung indica l'esistenza di un sottoinsieme di tutti gli elementi dell'insieme originale che soddisfa la condizione.

Poi viene principio astrazione: se l'insieme A esiste, quindi, per ogni x in A, x appartiene al sottoinsieme A, che soddisfa la condizione se e solo se x soddisfa la condizione C. Questo approccio risolve il paradosso Russell, dato che non può semplicemente assumere cioè, l'insieme di tutti gli insiemi che non sono membri stessi.

Avere un sacco di set, è possibile selezionare o dividerla in gruppi, che sono in se stessi, e quelli che non sono tali, ma dal momento che non v'è alcun insieme universale che non sono tenuti insieme di tutti gli insiemi. Senza assumere il problema imposta Russell contraddizione non può essere provata.

altre soluzioni

In aggiunta, ci sono stati successive estensioni o modifiche di tali soluzioni, come una teoria forcella tipo di "Principles of Mathematics" espansione sistema "logica matematica" Quine, nonché sviluppi più recenti nella teoria degli insiemi, rese Bernays, Gödel e von Neumann. La questione se la risposta al paradosso insolubile Bertrand Russell trovato, è ancora oggetto di dibattito.