Concetti di base della teoria della probabilità. Le leggi della teoria della probabilità

Molte persone, quando di fronte alla nozione di "teoria della probabilità", spaventati, pensando che si tratta di qualcosa di insopportabile, molto difficile. Ma in realtà non è così tragica. Oggi guardiamo i concetti di base della teoria della probabilità, imparare a risolvere i problemi di esempi concreti.

scienza

Quello che sta studiando una branca della matematica come una "teoria della probabilità"? Essa rileva schemi di eventi casuali e variabili. Per la prima volta la questione della Concerned Scientists nel XVIII secolo, quando ha studiato il gioco d'azzardo. Concetti di base della teoria della probabilità – evento. E 'qualsiasi fatto che si afferma per esperienza o osservazione. Ma che cosa è l'esperienza? Un altro concetto di base della teoria della probabilità. Ciò significa che questa parte dei casi non sono creati accidentalmente, e con uno scopo. Per quanto riguarda la sorveglianza, v'è il ricercatore stesso non partecipare all'esperienza, ma semplicemente un testimone di questi eventi, non ha alcun effetto su quanto sta accadendo.

eventi

Abbiamo imparato che il concetto di base della teoria della probabilità – l'evento, ma non ha ritenuto di classificazione. Tutti loro sono divisi nelle seguenti categorie:

• Affidabile.
• Impossibile.
• Random.

Non importa quale sia l'evento è, che viene guardato o creato nel corso dell'esperimento, sono colpiti da questa classificazione. Offriamo ogni tipo di incontro separatamente.

certo evento

Questo è un fatto a cui fare il set necessario di attività. Per comprendere meglio l'essenza, è meglio fare qualche esempio. Questo è subordinata alla legge e la fisica, la chimica, l'economia, e la matematica superiore. teoria della probabilità include un concetto così importante come un evento significativo. Ecco alcuni esempi:

• Noi lavoriamo e ricevono una retribuzione sotto forma di salario.
• Ebbene superato gli esami, superato un concorso per esso di ricevere una remunerazione sotto forma di ammissione a un istituto scolastico.
• Abbiamo investito soldi in banca, farli tornare, se necessario.

Tali eventi sono vere. Se abbiamo adempiuto a tutte le condizioni necessarie, essere sicuri di ottenere il risultato atteso.

evento impossibile

Ora consideriamo gli elementi della teoria della probabilità. Offriamo andare ai chiarimenti nei seguenti tipi di eventi – vale a dire l'impossibile. Per iniziare a stipulare la regola più importante – la probabilità di un evento impossibile è pari a zero.

Da questa formulazione non è permesso derogare a risolvere i problemi. Per illustrare esempi di tali eventi:

• L'acqua è congelato ad una temperatura di più dieci (è impossibile).
• La mancanza di energia elettrica non incide sulla produzione (impossibile come nell'esempio precedente).

Altri esempi sono dati non è necessario, come sopra descritto molto chiaramente riflettere l'essenza di questa categoria. evento impossibile non accade mai durante l'esperimento in qualsiasi circostanza.

eventi casuali

Studiando gli elementi della teoria della probabilità, particolare attenzione deve essere prestata al tipo di evento determinato. Questi sono quelli che studiano questa scienza. Come risultato della esperienza di qualcosa che può accadere o meno. Inoltre, il test di un numero illimitato di volte può essere effettuata. Tipici esempi sono:

• Toss la moneta – è un'esperienza, o di prova, la perdita di un'aquila – questo evento.
• Tirando la palla dal sacco alla cieca – prova, è stato catturato la sfera rossa – questo evento e così via.

Tali esempi possono essere un numero illimitato, ma, in generale, sono da intendersi. Per riassumere e sistematizzare le conoscenze acquisite sugli eventi di una tabella. studi teoria della probabilità solo quest'ultimo tipo di tutti presentati.

legislazione

teoria della probabilità – la scienza che studia la possibilità di perdita di qualsiasi evento. Come gli altri, ha alcune regole. Le seguenti leggi della teoria della probabilità:

• La convergenza di successioni di variabili casuali.
• La legge dei grandi numeri.

Quando si calcola la possibilità di un complesso può essere utilizzato eventi semplici complessi per ottenere risultati più facile e veloce modo. Va notato che le leggi della teoria della probabilità possono essere facilmente provate con l'aiuto di alcuni dei teoremi. Si consiglia di iniziare a fare conoscenza con la prima legge.

La convergenza di successioni di variabili aleatorie

Si noti che la convergenza di diversi tipi:

• La sequenza di variabili casuali convergenza in probabilità.
• Quasi impossibile.
• convergenza RMS.
• Convergenza in distribuzione.

Così, al volo, è molto difficile cogliere l'essenza. Qui ci sono le definizioni che aiuteranno a comprendere l'argomento. Per cominciare il primo sguardo. La sequenza è chiamato convergenza in probabilità, se la condizione seguente: n tende all'infinito, il numero richiesto dalla sequenza è maggiore di zero e vicino all'unità.

Vai alla visualizzazione successiva, quasi certamente. Si dice che la successione converge quasi sicuramente ad una variabile casuale con n tendente all'infinito, e R, tendente ad un valore prossimo all'unità.

Il tipo successivo – una convergenza di RMS. Quando si utilizza la convergenza SC-apprendimento dei processi casuali vettore riduce allo studio dei processi casuali coordinate.

Era l'ultimo tipo, vediamo brevemente e per andare direttamente alla soluzione di problemi. Convergenza in distribuzione ha un altro nome – "debole", allora spiegare perché. Debole convergenza – è la convergenza delle funzioni di distribuzione in tutti i punti di continuità della funzione di distribuzione limite.

Assicurarsi di mantenere la promessa: convergenza debole è diverso da tutto quanto precede che la variabile casuale non è definita sullo spazio di probabilità. Ciò è possibile perché la condizione è formata esclusivamente utilizzando funzioni di distribuzione.

La legge dei grandi numeri

Grande aiuto nella prova della legge sarà teoremi della teoria della probabilità, come ad esempio:

• disuguaglianza Chebyshev.
• Il teorema di Chebyshev.
• Teorema di Chebyshev generalizzato.
• Markov teorema.

Se consideriamo tutti questi teoremi, allora il problema potrebbe richiedere diverse decine di fogli. Abbiamo il compito principale – è l'applicazione della teoria della probabilità nella pratica. Vi offriamo in questo momento e facciamo. Ma prima di considerare gli assiomi della teoria della probabilità, sono partner chiave nella soluzione dei problemi.

assiomi

Dal primo, abbiamo già visto, quando si parla di evento impossibile. Ricordiamo: la probabilità di un evento impossibile è pari a zero. Esempio ci ha dato un vivido e memorabile: la neve è caduto ad una temperatura dell'aria di trenta gradi Celsius.

Il secondo è la seguente: un determinato evento si verifica con l'unità di probabilità. Ora mostreremo come è scritto con l'aiuto del linguaggio matematico: P (B) = 1.

Terzo: un evento casuale può accadere o no, ma la possibilità è sempre variano da zero a uno. Il più vicino è quello di unità, più possibilità; se il valore è prossimo allo zero, la probabilità è molto bassa. Scriviamo questo in linguaggio matematico: 0 <P (C) <1.

Si consideri l'ultimo, quarta assioma, cioè: la somma della probabilità di due eventi è uguale alla somma delle loro probabilità. Scrivi termini matematici: P (A + B) = P (A) + P (B).

Gli assiomi della teoria della probabilità – si tratta di una semplice regola che non sarà difficile da ricordare. Proviamo a risolvere alcuni problemi, sulla base di conoscenze già acquisite.

biglietto della lotteria

In primo luogo, prendere in considerazione l'esempio più semplice – una lotteria. Immaginate che hai comprato un biglietto della lotteria per la buona fortuna. Qual è la probabilità che si vincerà almeno una ventina di rubli? tiratura complessiva è coinvolto in un migliaio di biglietti, una delle quali ha un premio di cinquecento rubli, dieci rubli, venti e cinquanta rubli, e un centinaio – cinque. Il compito della teoria della probabilità basata su come trovare un modo per fortuna. Ora analizziamo insieme la decisione sopra la vista Attività.

Se indichiamo con un premio di cinquecento rubli, allora la probabilità di A è pari a 0,001. Come si arriva? Solo bisogno il numero di biglietti "fortunati" diviso per il numero totale (in questo caso: 1/1000).

In – un guadagno di un centinaio di rubli, la probabilità sarà pari a 0,01. Ora abbiamo agito nello stesso modo in cui l'ultima azione (10/1000)

C – payoff è di venti rubli. Trova la probabilità, è pari a 0,05.

Il resto dei biglietti non ci interessa, come il loro premio in denaro è inferiore a quella specificata nella condizione. Applicare una quarta assioma: La probabilità di vincere almeno una ventina di rubli è P (A) + P (B) + P (C). La lettera P indica la probabilità di origine della manifestazione, che nei passi precedenti abbiamo già trovato loro. Resta solo da definire i dati necessari, la risposta si ottiene 0.061. Questo numero sarà la risposta alla domanda di posti di lavoro.

Mazzo di carte

Problemi sulla teoria della probabilità, ci sono anche più complessi, ad esempio, prendere il lavoro successivo. Prima di mazzo di trentasei carte. Il vostro compito – per disegnare due carte di fila, senza pila miscelazione, il primo e secondo carte devono essere assi, abiti non contano.

Per cominciare, la probabilità che la prima carta è un asso, questo divario per quattro e trentasei. Metterlo da parte. Otteniamo una seconda carta è un asso con la probabilità di 335i. La probabilità che il secondo evento dipende da quale scheda abbiamo tirato il primo, che ci interessa, è stato un asso o meno. Da ciò ne consegue che, in caso dipende dall'evento A.

Il passo successivo troviamo la probabilità di realizzazione simultanea, vale a dire, moltiplicare A e B. Il loro lavoro è la seguente: la probabilità di un evento moltiplicato per la probabilità condizionale di un altro, si calcola, supponendo che si è verificato il primo evento, vale a dire, la prima carta abbiamo tirato un asso.

Al fine di diventare tutto è chiaro, dare tale elemento designazione come la probabilità condizionale della manifestazione. Si è calcolato assumendo che l'evento A è accaduto. Esso viene calcolato come segue: P (B / A).

Si estende la soluzione al nostro problema: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) o P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). La probabilità è (4/36) _* ((3/35) / (4/36) è calcolato arrotondando al centesimo Abbiamo: .. _* 0,11 (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. la probabilità che tracciamo su due assi consecutivi è uguale a nove centesimi. il valore è molto piccolo, ne segue che la probabilità di accadimento dell'evento è estremamente bassa.

stanza dimenticato

Offriamo fare alcune più opzioni di posti di lavoro che studia la teoria della probabilità. Esempi di soluzioni di alcuni di quelli che hai visto in questo articolo, cercare di risolvere il seguente problema: Il ragazzo ha dimenticato il numero di telefono per l'ultima cifra del suo amico, ma dal momento che la chiamata è stata molto importante, poi cominciò a raccogliere a turno. Abbiamo bisogno di calcolare la probabilità che avrebbe chiamato non più di tre volte. la soluzione più semplice del problema, se si conoscono le regole, le leggi e assiomi della teoria della probabilità.

Prima di vedere una soluzione, cercare di risolvere da soli. Sappiamo che quest'ultimo dato può essere da zero a nove, per un totale di dieci valori. punteggio di probabilità richiesto è 1/10.

Poi abbiamo bisogno di considerare le opzioni per l'origine degli eventi, supponiamo che il ragazzo indovinato e ha vinto il diritto, la probabilità di tali eventi è pari a 1/10. La seconda opzione: il primo slittamento chiamata, e il secondo obiettivo. Calcoliamo la probabilità di tali eventi: 9/10 moltiplicato per 1/9 alla fine otteniamo come 1/10. La terza opzione: la prima e seconda convocazione si è rivelata l'indirizzo sbagliato, solo il terzo ragazzo era dove voleva. Calcolare la probabilità di tali eventi: 9/10 moltiplicato per 8/9 e 1/8, si ottiene come risultato di 1/10. Altre opzioni sulla condizione del problema non ci interessa, questo resta per noi stabilire questi risultati, alla fine abbiamo un 3/10. Risposta: La probabilità che un ragazzo avrebbe chiamato non più di tre volte, pari a 0,3.

Le carte con i numeri

Prima di nove carte, ognuno dei quali è scritto un numero da uno a nove, i numeri non si ripetano. Hanno messo in una scatola e mescolare accuratamente. È necessario calcolare la probabilità che il

• laminati un numero pari;
• a due cifre.

Prima di procedere alla decisione precisare che m – è il numero di casi di successo, e n – è il numero complessivo di opzioni. Cerchiamo di trovare la probabilità che il numero è pari. Non è difficile da calcolare che anche i numeri di quattro, ed è il nostro m, tutte e nove le opzioni possibili, cioè, m = 9. Quindi la probabilità è pari a 0,44 o 4/9.

Consideriamo secondo caso, il numero di varianti di nove, e un esito positivo non può essere affatto, cioè, m è zero. La probabilità che la scheda allungato conterrà un numero a due cifre, come zero.