Pendolo: periodo e accelerazione di formula

Il sistema meccanico che consiste in un punto materiale (il corpo), che si blocca su un filamento inestensibile peso (la sua massa è trascurabile rispetto al peso del corpo) in un campo gravitazionale uniforme, chiamato il pendolo matematico (altro nome – l'oscillatore). Ci sono altri tipi di dispositivi. Invece di un filamento un'asta peso può essere utilizzato. Pendolo può chiaramente rivelare l'essenza di molti fenomeni interessanti. Quando piccole vibrazioni di ampiezza della proposta è chiamato armonico.

Informazioni generali sul sistema meccanico

La formula del periodo di oscillazione del pendolo è stato allevato Huygens scienziato olandese (1629-1695 gg.). Questo contemporaneo di Isaac Newton era molto affezionato del sistema meccanico. Nel 1656 ha creato il primo orologio con un meccanismo a pendolo. Hanno misurato il tempo con estrema precisione per quei tempi. La presente invenzione è stato un passo importante nello sviluppo di esperimenti fisici e attività pratiche.

Se il pendolo è in una posizione di equilibrio (appeso verticalmente), la forza di gravità sarà bilanciata dalla forza di tensione del filato. pendolo piatta sulla filati non estensibili è un sistema a due gradi di libertà di comunicazione. Quando si cambia solo una componente di modificare le caratteristiche di tutte le sue parti. Ad esempio, se un thread è sostituita da una barra, allora questo sistema meccanico è soltanto 1 grado di libertà. Quali sono, dunque, le proprietà di un pendolo matematico? In questo semplice sistema, sotto l'influenza di una perturbazione periodica, appare caos. In tal caso, quando il punto di sospensione non è in movimento, e oscilla un pendolo c'è una nuova posizione di equilibrio. Se rapide fluttuazioni su e giù questo sistema meccanico diventa posizione stabile "capovolta." Ha anche il suo nome. Si chiama Kapitza pendolo.

Le proprietà del pendolo

Pendolo ha proprietà molto interessanti. Tutti loro sono supportati da leggi fisiche ben noti. Il periodo di oscillazione del pendolo qualsiasi altra dipende da diversi fattori quali le dimensioni e la forma del corpo, la distanza tra il punto di sospensione e il centro di gravità, distribuzione del peso rispetto a questo punto. Ecco perché la definizione del periodo di appendere corpo è molto impegnativo. È molto più facile per calcolare il periodo di un pendolo semplice, la cui formula è riportata qui sotto. Come risultato di osservazione di tali schemi possono essere impostati su sistemi meccaniche simili:

• Se, pur mantenendo la stessa lunghezza del pendolo, sospesa da una varietà di carichi, il periodo dell'oscillazione ottenere lo stesso, anche se il loro peso varia notevolmente. Di conseguenza, il periodo del pendolo non dipende dal peso del carico.

• Se il sistema inizia a diminuire nel pendolo non è troppo grande, ma diversi punti di vista, sarà fluttuare con lo stesso periodo, ma a diverse ampiezze. Mentre deviazioni dal centro di equilibrio non è troppo grandi fluttuazioni nella loro forma saranno abbastanza vicino armonica. Il periodo di un tale pendolo non dipende l'ampiezza vibrazionale. La struttura del sistema meccanico si chiama isocronismo (in "Chronos" Greek – tempo "Izosov" – uguale).

Il periodo di un pendolo semplice

Questa figura rappresenta il periodo naturale di oscillazione. Nonostante la formulazione complessa, il processo è molto semplice. Se la lunghezza del filo matematico pendolo L, e l'accelerazione di gravità g, questo valore è uguale:

T = 2π√L / g

Piccolo periodo di oscillazioni naturali in alcun modo non dipende dalla massa del pendolo e l'ampiezza di oscillazione. In questo caso, come un pendolo matematico muove con lunghezza ridotta.

Oscillazioni di un pendolo matematico

pendolo oscilla teorico, che può essere descritto da una semplice equazione differenziale:

x + ω2 sin x = 0,

dove x (t) – funzione sconosciuta (questo angolo di deflessione da una posizione inferiore di equilibrio al tempo t, espresse in radianti); ω – una costante positiva che viene determinato dai parametri del pendolo (ω = √g / L, dove g – accelerazione di gravità, e L – la lunghezza di un pendolo semplice (sospensione).

Equazione piccole oscillazioni vicino posizione di equilibrio (equazione armonica) come segue:

x + ω2 sin x = 0

moto oscillatorio del pendolo

Pendolo, il che rende le piccole oscillazioni, sinusoide in movimento. Seconda equazione differenziale ordine soddisfa tutti i requisiti e parametri di un tale movimento. Per determinare il percorso è necessario impostare la velocità e coordinate, che in seguito hanno determinato costanti indipendenti:

x = A sin (θ ₀ + cot),

dove θ ₀ – fase iniziale, A – ampiezza di oscillazione, ω – frequenza ciclica determinata dalle equazioni del moto.

Pendolo (formula per grandi ampiezze)

Questo sistema meccanico, esercitare le loro oscillazioni con una grande ampiezza, è soggetta alle leggi del traffico più complesse. essi sono calcolati secondo la formula per tale pendolo:

sin x / 2 = u * sn (cot / u),

dove sn – sine Jacobi, che per u <1 è una funzione periodica, e per piccoli u esso coincide con il semplice seno trigonometrico. Il valore di u è determinato dalla seguente espressione:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

dove ε = E / ML2 (ML2 – energia del pendolo).

Determinazione del periodo di oscillazione non lineare del pendolo dalla seguente formula:

T = 2π / Ω,

dove Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K – integrale ellittico, π – 3,14.

il movimento oscillante della separatrice

Si chiama separatrix traiettoria del sistema dinamico, in cui uno spazio di fase bidimensionale. Pendolo si muove su un non-periodico. Nel punto infinitamente lontano di tempo che cade dalla posizione estrema superiore verso una velocità zero, e poi viene gradualmente guadagnando. Alla fine si fermò, ritornando alla sua posizione originale.

Se l'ampiezza di oscillazione del pendolo si avvicina al numero pi, si dice che il movimento nel piano di fase è vicino al separatrice. In questo caso, sotto l'azione di una piccola forza trainante periodica del sistema meccanico presenta comportamento caotico.

Nel caso di un semplice pendolo dalla posizione di equilibrio con un angolo cp avviene forza tangenziale Fτ = gravità sin -mg φ. Segno "meno" significa che la componente tangenziale diretta nella direzione opposta alla direzione della deviazione del pendolo. Quando si fa riferimento tramite spostamento del pendolo x lungo un arco di cerchio con raggio L è uguale al suo spostamento angolare φ = x / L. La seconda legge Isaaka Nyutona, progettata per proiezione del vettore accelerazione e la forza che invia il valore desiderato:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Sulla base di questo rapporto, è chiaro che il pendolo è un sistema non lineare, come una forza che tende a ritornare alla sua posizione di equilibrio, non è sempre proporzionale allo spostamento x, peccato x / L.

Solo quando il pendolo matematico esegue piccole vibrazioni, è un oscillatore armonico. In altre parole, diventa un sistema meccanico in grado di eseguire oscillazioni armoniche. Questa approssimazione è valida per quasi angoli 15-20 °. Pendolo con grandi ampiezze non è armonico.

legge di Newton per piccole oscillazioni di un pendolo

Se il sistema meccanico esegue piccole oscillazioni, la legge di Newton secondo sarà simile a questa:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Su questa base, si può concludere che l'accelerazione tangenziale di un pendolo semplice è proporzionale al suo spostamento con il segno "meno". Questa è una condizione in cui il sistema diventa un oscillatore armonico. Modulo fattore di proporzionalità tra lo spostamento e l'accelerazione è uguale al quadrato della frequenza angolare:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Questa formula riflette la frequenza naturale delle piccole oscillazioni di questo tipo di pendolo. Su questa base,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

I calcoli in base alla legge di conservazione dell'energia

Proprietà oscillanti movimenti a pendolo può essere descritto con l'aiuto della legge di conservazione dell'energia. Va tenuto presente che l'energia potenziale del pendolo in un campo gravitazionale è:

E = mgΔh = MGL (1 – cos α) = mgL2sin2 α / 2

Pieno di energia meccanica è uguale al potenziale cinetica e massima: Epmax = Ekmsx = E

Dopo aver scritto la legge di conservazione dell'energia, prendendo la derivata dei lati sinistro e destro dell'equazione:

Ep + Ek = cost

Poiché la derivata delle costanti è uguale a 0, allora (Ep + Ek) '= 0. La derivata della somma è uguale alla somma dei derivati:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

quindi:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Sulla base della ultima formula, troviamo: α = – g / L * x.

L'applicazione pratica del pendolo matematico

Accelerazione della caduta libera varia con la latitudine, perché la densità della crosta attorno al pianeta non identici. Dove le rocce si verificano con una maggiore densità, sarà leggermente più alto. Accelerazione di pendolo matematico viene spesso utilizzato per l'esplorazione. Nel suo aspetto di aiuto per i diversi minerali. Contando semplicemente il numero di oscillazioni di un pendolo, è possibile rilevare il carbone o minerale nelle viscere della Terra. Questo è dovuto al fatto che queste risorse hanno una densità e il peso di oltre sdraiato sotto le rocce sciolte.

pendolo matematico utilizzato da studiosi di spicco come Socrate, Aristotele, Platone, Plutarco, Archimede. Molti di loro credevano che il sistema meccanico può influenzare il destino e la vita. Archimede utilizzato il pendolo matematico con i suoi calcoli. Al giorno d'oggi, molti occultisti e sensitivi usano questo sistema meccanico per l'attuazione delle sue profezie, o la ricerca di persone scomparse.

Il famoso astronomo e scienziato francese, Flammarion per la loro ricerca utilizzati anche un pendolo matematico. Egli ha sostenuto che con il suo aiuto è stato in grado di predire la scoperta di un nuovo pianeta, l'emergere del meteorite di Tunguska, e altri eventi importanti. Durante la seconda guerra mondiale in Germania (Berlino) ha lavorato come un istituto specializzato del pendolo. Al giorno d'oggi, questo tipo di ricerca non è disponibile Institute di Monaco di Parapsicologia. Il suo lavoro con il pendolo il personale di questa istituzione chiamata "radiesteziey".