340 Shares 8173 views

progressione geometrica e le sue proprietà

progressione geometrica è importante in matematica come scienza, e significato applicata, dato che possiede un estremamente ampio campo di applicazione, anche in matematica superiore, per esempio, nella teoria di serie. Le prime informazioni sullo stato di avanzamento è venuto a noi dall'antico Egitto, in particolare sotto forma di un problema ben noto del papiro di Rhind sette persone con sette gatti. Variazioni di questo compito sono state ripetute più volte in tempi diversi da altre nazioni. Anche il Velikiy Leonardo Pizansky, noto come Fibonacci (XIII sec.), Ha parlato con lei nel suo "Libro della Abacus."

In modo che la progressione geometrica ha una storia antica. Esso rappresenta una sequenza numerica con un primo elemento diverso da zero, e ogni successiva, iniziando con la seconda è determinata moltiplicando il precedente formula recidiva a un numero costante, diverso da zero che si chiama progressione denominatore (di solito definito con la lettera q).
Ovviamente, può essere ottenuta dividendo ogni successivo termine della successione al precedente, cioè z 2: z = 1 … = zn: z = n-1 …. Di conseguenza, per la maggior progressione lavoro (zn) sufficiente che conosce il valore del primo termine del denominatore y 1 q.

Ad esempio, sia z 1 = 7, q = – 4 (q <0), allora la seguente progressione geometrica è ottenuto 7 – 28 112 – 448, …. Come si può vedere, la sequenza risultante non è monotona.

Ricordiamo che una sequenza arbitraria di monotona (crescente / decrescente) quando uno dei suoi membri seguono più / meno di quella precedente. Ad esempio, la sequenza 2, 5, 9, …, e -10, -100, -1000, … – monotono, la seconda – una progressione geometrica decrescente.

Nel caso in cui q = 1, tutti i componenti si trovano ad essere, ed è chiamato la progressione costante.

La sequenza è stata la progressione di questo tipo, deve soddisfare la seguente condizione necessaria e sufficiente, ossia: a partire dal secondo, ciascuno dei suoi membri dovrebbe essere la media geometrica dei componenti adiacenti.

Questa proprietà consente a determinate progressione arbitrario termine due adiacenti constatazione.

n-esimo termine esponenziale facilmente reperibili dalla formula: zn = z 1 * q ^ (n-1), z sapendo primo elemento 1 e il denominatore q.

Poiché il numero di sequenza ha una somma, quindi semplici calcoli diaci una formula per calcolare la somma della prima progressione di membri, ossia:

S n = – (zn * q – z 1) / (1 – q).

Sostituendo, nella formula suo valore espressione zn z 1 * q ^ (n-1) per ottenere una seconda formula somma della progressione: S n = – z1 * (q ^ n – 1) / (1 – q).

È degno di attenzione il seguente fatto interessante: la tavoletta di argilla rinvenuti negli scavi dell'antica Babilonia, che si riferisce alla VI. BC, contiene notevole modo la somma di 1 + 2 + … + 22 + 29 pari a 2 alla meno potenza decimo 1. La spiegazione di questo fenomeno non è stato ancora trovato.

Notiamo una delle proprietà di progressione geometrica – un costante lavoro dei suoi membri, distanziati a distanze uguali dalle estremità della sequenza.

Di particolare importanza dal punto di vista scientifico, una cosa come una progressione geometrica infinita e calcolare l'importo. Supponendo che (yn) – una progressione geometrica avente denominatore q, soddisfare la condizione | q | <1, la sua quantità sarà ricordato il limite verso cui sappiamo già la somma dei suoi primi membri, con illimitato incremento di n, allora ha esso si avvicina all'infinito.

Trova tale importo a seguito della utilizzando la formula:

S n = y 1 / (1- q).

E, come l'esperienza ha dimostrato, per l'apparente semplicità di questa progressione è nascosto un enorme potenziale applicazione. Ad esempio, se si costruisce una sequenza di quadrati secondo il seguente algoritmo, che collega i punti medi del precedente, allora formano una progressione geometrica infinita quadrato con denominatore 1/2. La stessa forma progressione e area di triangoli, ottenuti in ogni fase di costruzione, e la sua somma è uguale all'area del quadrato originale.