L'integrale indefinito. Calcolo di integrali indefiniti

Una delle sezioni fondamentali dell'analisi matematica è il calcolo integrale. Copre un campo molto ampio di oggetti, dove il primo – è l'integrale indefinito. Posizione si erge come una chiave che è ancora al liceo rivela un numero crescente di prospettive e opportunità, che descrive matematica superiore.

aspetto

A prima vista, sembra assolutamente integrante della moderna, d'attualità, ma in pratica si scopre che è tornato nel 1800 aC. Sede di considerare ufficialmente l'Egitto non ci ha raggiunto in precedenza prova della sua esistenza. A causa della mancanza di informazioni, pur posizionato come un semplice fenomeno. Si conferma ancora una volta il livello di sviluppo scientifico dei popoli di quei tempi. Infine, i lavori sono stati trovati gli antichi matematici greci, risalente al 4 ° secolo aC. Essi descrivono il metodo utilizzato quando l'integrale indefinito, la cui essenza era di trovare (rispettivamente piano tridimensionale e bidimensionale,) il volume o area di una forma curvilinea. calcolo si è basato sul principio della divisione della figura originale in componenti infinitesimali, a condizione che il volume (area) è già noto ad essi. Nel corso del tempo, il metodo è cresciuta, Archimede usò per trovare l'area di una parabola. Calcoli simili allo stesso tempo di condurre esercitazioni nell'antica Cina, dove sono state completamente indipendente dal collega scienza greca.

sviluppo

Il prossimo passo avanti nel XI secolo aC è diventato il lavoro dello studioso arabo "carro" Abu Ali al-Basri, che ha spinto i confini del già noto, sono stati ricavati dalla formula integrale per il calcolo delle somme degli importi e gradi dal primo al quarto, l'applicazione di questo noto a noi metodo di induzione. integrale indefinito
Menti di oggi sono ammirati dagli antichi Egizi creato i monumenti incredibili senza speciali strumenti, ad eccezione di quella delle proprie mani, ma è non è un potere scienziati pazzi di non meno del tempo di un miracolo? Rispetto ai tempi attuali della loro vita sembrano quasi primitivo, ma la decisione di integrali indefiniti dedotto ovunque e utilizzato in pratica per un ulteriore sviluppo.

Il passo successivo è avvenuto nel XVI secolo, quando il matematico italiano Cavalieri portato metodo indivisibile, che raccolse Per Ferma. Questi due personalità ha gettato le basi per il moderno calcolo integrale, che è noto al momento. Legarono i concetti di differenziazione e integrazione, precedentemente visti come unità autonome. In generale, la matematica di quel tempo era particelle frammentate risultati esistono da soli, con uso limitato. Modo per unire e trovare un terreno comune era l'unico vero in questo momento, grazie a lui, la moderna analisi matematica hanno avuto l'opportunità di crescere e svilupparsi.

Con il passare del tempo cambia tutto e il simbolo integrale pure. In generale, è stato designato scienziati che a modo suo, per esempio, Newton utilizzato un'icona quadrata, che ha messo una funzione integrabile, o semplicemente messi insieme. decisionali integrali indefiniti Questa disparità è durato fino al XVII secolo, quando un punto di riferimento per l'intera teoria di analisi matematica scienziato Gotfrid Leybnits introdotto un tale personaggio a noi familiare. Allungata "S" è in realtà basata su questa lettera dell'alfabeto latino, in quanto denota la somma dei primitivi. Il nome dell'integrale ottenuta grazie Jakob Bernoulli, dopo 15 anni.

La definizione formale

L'integrale indefinito dipende dalla definizione del primitivo, quindi consideriamo in primo luogo.

Antiderivata – è la funzione inversa del derivato, in pratica si chiama primitiva. Altrimenti: funzione primitiva d – è una funzione D, che è il derivato v V '= v. Cerca primitivo è quello di calcolare l'integrale indefinito, e il processo si è chiamato l'integrazione.

esempio:

La funzione s (y) = y ^3, e la sua S primitiva (y) = (y ^4/4).

L'insieme di tutte le primitive della funzione – questo è un integrale indefinito, indicato come segue: ∫v (x) dx.

In virtù del fatto che V (x) – sono solo alcune funzione originale primitiva, espressione vale: ∫v (x) dx = V (x) + C, dove C – costante. Sotto la costante arbitraria si riferisce a qualsiasi costante, poiché la sua derivata è zero.

proprietà

Le proprietà possedute dal integrale indefinito, essenzialmente basati sulla definizione e proprietà di derivati. Esempi di risolvere integrali indefiniti
Prendere in considerazione i punti chiave:

derivata integrale del primitivo è primitivo stessa più un'arbitraria costante C ∫V '(x) dx = V (x) + C;
derivata dell'integrale di una funzione è la funzione originale (∫v (x) dx) '= v (x);
costante è preso da sotto il segno di integrale ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, dove k – è arbitraria;
integrale, che viene prelevata dalla somma della identicamente uguale alla somma di integrali ∫ (v (y) + w (y)) = dy dy + ∫w (y) dy ∫v (y).

Le ultime due proprietà può concludere che l'integrale indefinito è lineare. A causa di questo, abbiamo: dy = dy + l∫w (y) dy ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) k∫v (y).

Per vedere esempi di fissaggio soluzioni integrali indefiniti.

È necessario trovare il ∫ integrale (3sinx + 4cosx) dx:

∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx – 3cosx + C.

Dall'esempio possiamo concludere che non si sa come risolvere integrali indefiniti? Basta trovare tutte le primitive! Ma la ricerca dei principi discussi di seguito.

Metodi ed esempi

Al fine di risolvere l'integrale, si può ricorrere ai seguenti metodi:

pronto a sfruttare tavolo;
integrando per parti;
integrato sostituendo la variabile;
riassumendo sotto il segno del differenziale.

tavoli

Il modo più semplice e divertente. Al momento, analisi matematica può vantare tavoli abbastanza ampi, che espone la formula base di integrali indefiniti. In altre parole, ci sono i modelli derivati da voi e si può solo trarre vantaggio di loro. Ecco l'elenco delle principali posizioni da tavolo, che possono essere visualizzate praticamente ogni caso, ha una soluzione:

∫0dy = C, dove C – costante;
∫dy = y + C, dove C – costante;
∫y ^ⁿ dy = (y ⁿ ^{+ 1)} / (n + 1) + C, dove C – una costante, e n – numero diverso dall'unità;
∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, dove C – costante;
^{^{∫e y dy = e y + C}} , dove C – costante;
^{^{∫k y dy = (k y /}} ln k) + C, dove C – costante;
∫cosydy = siny + C, dove C – costante;
∫sinydy = -cosy + C, dove C – costante;
∫dy / cos ² y = tgy + C, dove C – costante;
∫dy / sin ² y = -ctgy + C, dove C – costante;
∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, dove C – costante;
∫chydy = timido + C, dove C – costante;
∫shydy = Chy + C, dove C – costante.

Se necessario, fare un paio di gradini conducono integrando ad una vista tabellare e godersi la vittoria. ESEMPIO: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x – 2) d (5x – 2) = 1/5 x sin (5x – 2) + C.

Secondo la decisione, è chiaro che, ad esempio un tavolo integrando manca moltiplicatore 5. Aggiungiamo che in parallelo con questo moltiplicarsi di 1/5 di espressione generale non è cambiata.

Integrazione per parti

Consideriamo due funzioni – z (y) e x (y). Essi devono essere continuamente differenziabile sul suo dominio. In una proprietà di differenziazione che abbiamo: d (xz) = XDZ + ZDX. L'integrazione di entrambe le parti, si ottiene: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + ZDX) => = zx ∫zdx + ∫xdz.

Riscrivere l'equazione risultante, otteniamo la formula che descrive il metodo di integrazione per parti: ∫zdx = zx – ∫xdz.

Perché è necessario? Il fatto che alcuni degli esempi è possibile semplificare, diciamo, per ridurre ∫xdz ∫zdx, se quest'ultimo è vicino alla forma tabellare. Inoltre, questa formula può essere utilizzato più di una volta, per ottenere risultati ottimali.

Come risolvere integrali indefiniti in questo modo:

necessario calcolare ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{^{/ 2e 2s, dy = e 2x}} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

deve calcolare ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / i, y = s, dy = ds} = linfonodi sentinella – ∫s x ds / s = linfonodi sentinella – ∫ds = linfonodi sentinella -s + C = s (lns-1) + C.

Sostituzione della variabile

Questo principio di risolvere integrali indefiniti non sono meno richieste rispetto alle due precedenti, anche se complicata. Il metodo è il seguente: Sia V (x) – l'integrale di una funzione v (x). Nel caso in cui in sé integrale nell'esempio slozhnosochinenny arriva, rischia di confondersi e scendete le soluzioni strada sbagliata. Per evitare questo cambiamento pratica dal x variabile z, in cui l'espressione generale semplificata visivamente mantenendo la z seconda x.

In termini matematici, ciò è la seguente: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), dove x = y ( z) – sostituzione. E, naturalmente, la funzione inversa z = y ^-1 (x) descrive pienamente il rapporto e il rapporto delle variabili. Nota importante – la dx differenziale necessariamente sostituito con un nuovo differenziale dz, poiché il cambiamento della variabile nel integrale indefinito consiste nel sostituire ovunque, non solo nel integrando.

esempio:

deve trovare ∫ (s + 1) / (s + ² 2s – 5) ds

Applicare la sostituzione z = (s + 1) / (s + ² 2s-5). Poi dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds (s + 1) ds = dz / 2. Di conseguenza, la seguente espressione, che è molto facile da calcolare:

∫ (s + 1) / (s + ² 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2LN | S ² + 2s-5 | + C;

è necessario trovare l'integrale ∫2 ^{^s} e ^s dx

Per risolvere la riscrittura nella forma seguente:

^{^{∫2 s e s ds = ∫ (}} 2e) s ds.

Indichiamo con a = 2e (sostituzione dell'argomento questo passaggio non è, è ancora s), diamo il nostro apparentemente complicata integrante della forma tabellare base:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^{^s} e ^s / ln (2 + lne) + C = 2 ^{^s} e ^s / (LN2 + 1) + C.

Riassumendo un segno differenziale

In generale, questo metodo di integrali indefiniti – il fratello gemello del principio del cambiamento di variabili, ma ci sono differenze nel processo di registrazione. Consideriamo più in dettaglio. Metodo integrali indefiniti

Se ∫v (x) dx = V (x) + C e y = z (x), allora ∫v (y) dy = V (y) + C.

Allo stesso tempo, non dobbiamo dimenticare le trasformazioni integrali banali, tra i quali:

dx = d (x + a), e in cui – ciascuna costante;
dx = (1 / a) d (ax + b), dove un – nuovo costante, ma non zero;
xdx = 1 / 2d (x ² + b);
sinxdx = -d (cosx);
cosxdx = d (sinx).

Se consideriamo il caso generale in cui si calcola l'integrale indefinito, esempi possano essere fatti rientrare la formula generale w '(x) dx = dw (x).

esempi:

deve trovare ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / coss = -ln | coss | + C.

L'aiuto in linea

In alcuni casi, la colpa di cui può diventare o pigrizia, o un bisogno urgente, è possibile utilizzare le istruzioni on-line, o meglio, per usare una calcolatrice integrali indefiniti. Nonostante l'apparente complessità e la natura controversa degli integrali, la decisione è subordinata alla loro algoritmo specifico, che si basa sul principio di "se non … allora …".

Naturalmente, un particolare intricati esempi di un tale calcolatore di non padroneggiare, in quanto vi sono casi in cui una decisione deve trovare un artificialmente "forzata" con l'introduzione di alcuni elementi del processo, perché i risultati sono evidenti modi per raggiungere. Nonostante la natura controversa di questa affermazione, è vero, come la matematica, in linea di principio, una scienza astratta, e il suo obiettivo primario considera la necessità di potenziare i confini. In effetti, per un liscio run-in teorie è molto difficile per spostarsi in alto e si evolvono, in modo da non dare per scontato che gli esempi di risolvere integrali indefiniti, che ci ha dato – questo è l'altezza di opportunità. Ma torniamo al lato tecnico delle cose. Almeno per controllare i calcoli, è possibile utilizzare il servizio in cui è stato scritto per noi. Se v'è la necessità per il calcolo automatico di espressioni complesse, allora non c'è bisogno di ricorrere a un software più grave. Dovrebbero prestare attenzione soprattutto per l'ambiente MatLab.

applicazione

La decisione di integrali indefiniti a prima vista sembra completamente distaccato dalla realtà, perché è difficile vedere l'ovvio uso dell'aereo. Infatti, usarli direttamente da nessuna parte non è possibile, ma sono un elemento intermedio necessario nel processo di ritiro delle soluzioni utilizzate nella pratica. Così, l'integrazione di differenziazione di nuovo, quindi partecipando attivamente al processo di risoluzione di equazioni. Formula integrali indefiniti
A loro volta, queste equazioni hanno un impatto diretto sulla decisione di problemi meccanici, calcolo della traiettoria e la conducibilità termica – in breve, tutto ciò che costituisce il presente e plasmare il futuro. Integrale indefinito, esempi dei quali abbiamo sopra considerato, solo banale a prima vista, come base per effettuare sempre nuove scoperte.