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algebra booleana. algebra della logica. Elementi di logica matematica

Nel mondo di oggi ci sono sempre più utilizzando una varietà di macchine e gadget. E non solo quando è necessario applicare la forza letteralmente sovrumana: spostare il carico di sollevarlo fino all'altezza, scavare trincee lungo e profondo, ecc macchine oggi raccolgono i robot, il cibo è cotto Multivarki e calcoli aritmetici elementari producono calcolatrici … Sempre più spesso si sente la frase "algebra booleana". Forse è giunto il momento di capire il ruolo degli esseri umani nella realizzazione di robot e macchine la capacità di risolvere non solo matematica, ma anche problemi logici.

logica

Nella logica greca – un sistema ordinato di pensiero che crea la relazione tra le condizioni date e ti permette di fare inferenze basate su ipotesi e stime. Molto spesso, chiediamo l'un l'altro: "E 'logico" La risposta conferma le nostre supposizioni o critica il filo del discorso. Ma il processo non si ferma qui: continuiamo a parlare.

A volte il numero di condizioni (input) è così grande, e il rapporto tra loro è così confuso e complesso che il cervello umano non è in grado di "digerire" tutto in una volta. Potrebbe essere necessario più di un mese (settimana, anno) per la comprensione di ciò che sta accadendo. Ma la vita moderna non ci dà questi intervalli di tempo per prendere decisioni. E si ricorre in aiuto dei computer. Ed è qui che c'è un algebra e logica, con le sue leggi e le proprietà. Dopo aver scaricato tutti i dati originali, permettiamo al computer di riconoscere tutti i rapporti, per eliminare le contraddizioni e di trovare una soluzione soddisfacente.

Matematica e la logica

Famous Gotfrid Vilgelm Leybnits formulato il concetto di "logica matematica", quali compiti sono stati facili da capire solo una ristretta cerchia di studiosi. Di particolare interesse è la direzione non ha causato, e alla metà del XIX secolo, della logica matematica conosciuta da pochi.

Il grande interesse per la comunità scientifica ha causato una controversia in cui l'inglese Dzhordzh Bul dichiarato la sua intenzione di stabilire una branca della matematica, non avere assolutamente alcun uso pratico. Come sappiamo dalla storia, in questo momento attivamente lo sviluppo della produzione industriale, abbiamo sviluppato tutti i tipi di macchine ausiliarie, t. E. Tutte le scoperte scientifiche hanno avuto un orientamento pratico.

Guardando al futuro, diciamo che un algebra booleana – i più utilizzati nel mondo di oggi parte della matematica. Così il vostro argomento Buhl perso.

Dzhordzh Bul

La personalità dell'autore merita particolare attenzione. Anche in considerazione del fatto che in passato la gente è cresciuto davanti a noi, ancora si deve notare che nei 16 anni di John. Buhl insegnato presso la scuola del villaggio, e a 20 anni ha aperto la propria scuola a Lincoln. Matematico perfettamente imparato cinque lingue straniere, e nel suo tempo libero, stava leggendo le opere di Newton e Lagrange. E tutto questo – il figlio di un lavoratore normale!

Nel 1839, Buhl ha inviato i suoi primi lavori scientifici nella Cambridge Mathematical Journal. Scienziato girato 24 anni. Il lavoro di Boole è così membri interessati della Royal Society, nel 1844 ha ricevuto una medaglia per il suo contributo allo sviluppo di analisi matematica. Alcuni articoli pubblicati in cui gli elementi di logica matematica, la matematica ha permesso ai giovani di prendere il posto di professore nel Collegio della contea di Cork sono stati descritti. Ricordiamo che alla formazione molto Boole non era.

idea

In linea di principio, l'algebra booleana è molto semplice. Ci sono dichiarazioni (logiche espressioni) che, dal punto di vista della matematica, può essere definito solo in due parole: "vero" o "falso". Ad esempio, gli alberi in fiore di primavera – la verità, in estate nevica – una bugia. La bellezza della matematica è che non è strettamente necessario utilizzare solo numeri. Per i giudizi di algebra abbastanza in forma le dichiarazioni con senso unico.

Così, l'algebra della logica può essere utilizzata letteralmente ovunque: nelle istruzioni di programmazione e la scrittura, l'analisi delle informazioni contrastanti circa gli eventi e la determinazione della sequenza di azioni. La cosa più importante – per rendersi conto che non importa il modo in cui determinare la verità o la falsità delle dichiarazioni. Da questi "come" e "perché" è necessario ignorare. Ciò che conta è solo un dato di fatto: la verità è una menzogna.

Naturalmente, la programmazione delle funzioni più importanti del algebra della logica che vengono registrati con segni e simboli appropriati. E li imparare – vuol dire imparare una nuova lingua straniera. Niente è impossibile.

Concetti e definizioni di base

Senza entrare in profondità, abbiamo a che fare con la terminologia. Così, algebra booleana presuppone:

  • dichiarazioni;
  • operazioni logiche;
  • le funzioni e le leggi.

Dichiarazioni – qualsiasi espressione positiva che può essere interpretato a due valori. Sono scritte come numeri (5> 3) o parole familiari formulati (elefante – il più grande mammifero). In questo caso, la frase "il collo della giraffa non è" ha anche il diritto di esistere, solo l'algebra di Boole definirla come "una menzogna".

Tutte le dichiarazioni devono essere inequivocabili, ma possono essere di base o composto. Il consumo recente bundle logico. E. Nel bilancio algebra giudizi composto formato mediante l'aggiunta di operazioni logiche elementari.

operazioni di algebra booleana

Abbiamo già ricordare che le operazioni di cui l'algebra delle sentenze – logico. Proprio come l'algebra dei numeri usando le operazioni aritmetiche di aggiungere, sottrarre, o confrontare i numeri, elementi logici matematici consentono di fare dichiarazioni complesse, di negare o per calcolare il risultato finale.

operazioni logiche per la formalizzazione e la semplicità espressa dalla formula, a noi familiare in aritmetica. Proprietà di equazioni algebra booleana permettono di registrare e calcolare l'ignoto. operazioni logiche sono di solito registrati dal tabella di verità. Suoi elementi definiscono colonne e operazione di calcolo, eseguito loro, e le righe mostrano il risultato dei calcoli.

logica di base di azioni

Il più comune nelle operazioni di algebra booleana sono negazione (NOT), e la logica AND e OR. Così è possibile descrivere in pratica tutti i passaggi nei giudizi di algebra. Abbiamo studiato in dettaglio ciascuna delle tre operazioni.

La negazione (non) viene applicato ad un solo elemento (operando). Pertanto, l'operazione viene chiamata una negazione unaria. Per registrare il concetto di "non" che utilizzano tali simboli: ¬A, A o A !. In forma di tabella che appare così:

La funzione di negazione tipica di una tale affermazione: se A è vero, allora A – è falso. Ad esempio, la Luna gira attorno alla Terra – la verità; Terra gira intorno alla luna – una bugia.

moltiplicazione logica e addizione

AND logico è chiamato una congiunzione. Che cosa significa? In primo luogo, che può essere applicato a due operandi, cioè, I – .. Operazione binaria. In secondo luogo, è solo nel caso della verità di entrambi gli operandi (sia A e B) è vero e l'espressione stessa. Il proverbio, "La pazienza e un po 'di sforzo" implica che solo due fattori possono aiutare una persona a far fronte alle difficoltà.

simboli vengono utilizzati per la registrazione: A∧B, A⋅B o A && B.

Congiunzione è simile alla moltiplicazione in aritmetica. A volte e dire – moltiplicazione logica. Se si moltiplica gli elementi delle righe della tabella, otteniamo un risultato simile al pensiero logico.

Disgiunzione è un'operazione logica OR. E 'vero se almeno una delle affermazioni è vera (A o B). E 'scritto in questo modo: A∨B, A + B o A || B. la tabella di verità per queste operazioni sono:

Disgiunzione aggiunta aritmetica simile. operazione di addizione logico ha una sola limitazione: 1 + 1 = 1. Ma ricordiamo che in formato digitale si limita alla logica matematica 0 e 1 (dove 1 – la verità, 0 – false). Ad esempio, l'affermazione "nel museo si può vedere un capolavoro o di trovare una buona società" designa quello che potete vedere le opere d'arte, ed è possibile incontrare una persona interessante. Allo stesso tempo, non escludono la possibilità di realizzazione simultanea di entrambi gli eventi.

Funzioni e le leggi

Così, sappiamo già che cosa l'operazione logica usando l'algebra di Boole. Funzioni descritte tutte le proprietà degli elementi di logica matematica, e consentono di semplificare istruzioni composte complesse. Il più chiaro e semplice sembra immobili rigetto delle operazioni derivati. Dai derivati sono compresi XOR, implicazione ed equivalenza. Come abbiamo letto solo con le operazioni di base, e quindi la proprietà è anche prendere in considerazione solo loro.

Associatività significa che nel bilancio come "A e B, e B 'profilo sequenza degli operandi non importa. La formula è scritto come segue:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Come si può vedere, questo non è unico per la congiunzione, ma una disgiunzione.

Commutativity sostiene che il risultato della congiunzione o disgiunzione non dipende da quale elemento è stato considerato fin dall'inizio:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity permette rivelare parentesi in espressioni logiche complesse. Regole sono simili alla parentesi aperta nella moltiplicazione e addizione algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

proprietà unitari e graffi, che può essere uno degli operandi sono simili alla moltiplicazione algebrica da zero o uno, e l'aggiunta di un'unità:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotenza ci dice che se due operandi relativamente uguali il risultato dell'operazione è lo stesso, si può "buttare" l'eccesso operandi complicare ragionamento. E le operazioni di congiunzione e disgiunzione sono idempotente.

B∧B = B; B∨B = B.

L'acquisizione ci permette anche di semplificare l'equazione. Assorbimento precisa che quando l'espressione viene applicato a uno di essi, un'altra operazione con lo stesso elemento dell'operando risultato sta assorbendo funzionamento.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

sequenza di operazioni

La sequenza di operazioni è di grande importanza. In realtà, come per l'algebra, v'è una funzione di priorità che utilizza un booleana. Le formule possono essere semplificate soggetti soltanto al significato delle operazioni. Classifica dei più significativo trascurabile, si ottiene la seguente sequenza:

1. Negazione.

2. Congiunzione.

3. La disgiunzione, XOR.

4. L'implicazione, equivalenza.

Come si può vedere, solo la negazione della congiunzione e non hanno la stessa priorità. Una priorità della disgiunzione e XOR sono uguali, così come le priorità di implicazione e di equivalenza.

Funzioni di implicazione e di equivalenza

Come abbiamo detto, oltre alle operazioni logiche di base, logica matematica e teoria degli algoritmi tramite derivati. E 'più spesso l'implicazione e di equivalenza.

L'implicazione o conseguenza logica – questa dichiarazione, in cui un'azione è una condizione, e l'altro – il risultato della sua attuazione. In altre parole, questa proposta con il pretesto di "se … allora". "Dopo cena arriva la resa dei conti." E. Per guidare da serrare sulla collina slitta. Se non v'è alcun desiderio di scendere dalla montagna, e quindi trascinare la slitta non è necessario. È scritto in modo: A → B o A⇒B.

Equivalenza presuppone che l'effetto netto verifica solo quando entrambi gli operandi sono veri. Ad esempio, la notte cede il passo al giorno, allora (e solo allora), quando il sole sorge sopra l'orizzonte. Nel linguaggio della logica matematica di questa affermazione è scritto come A≡B, A⇔B, A == B.

Altre leggi dell'algebra booleana

giudizio Algebra sviluppa, e molti scienziati interessati a formulare nuove leggi. I più famosi sono considerati postula matematico scozzese O. De Morgan. Notò e ha dato una definizione di proprietà quali chiudere negazione, addizione e doppio negativo.

Chiudere la negazione suggerisce che prima della parentesi si può negare: non (A o B) = non A o B. NON

Quando l'operando viene negato, indipendentemente dal suo valore, dire di più:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

E, infine, la doppia negazione stessa compensa. ie Prima che una negazione operando scompare o rimane una sola.

Come risolvere i test

Logica implica equazioni semplificazione predeterminato. Proprio come in Lie, è necessario agevolare al massimo prima condizione (per sbarazzarsi di operazioni di input complicati, e con loro), quindi iniziare a cercare una risposta corretta.

Cosa fare per semplificare? Convertire tutti i derivati in una semplice operazione. Poi scoprire tutte le staffe (o viceversa, per rendere le staffe per ridurre questo elemento). Il passo successivo dovrebbe essere quello di utilizzare le proprietà booleana in pratica (proprietà di assorbimento zero e uno, e t.).

In definitiva, l'equazione deve essere composto da un numero minimo di incognite, combinata con semplici operazioni. Il modo più semplice per cercare una soluzione, se si effettua un gran numero di vicini negativi. Allora la risposta apparirà come se di per sé.