La teoria della probabilità. Probabilità di un evento, evento occasionale (teoria della probabilità). sviluppi indipendenti e incompatibili nella teoria della probabilità

È improbabile che molte persone si chiedano se sia possibile calcolare eventi che sono in qualche misura accidentali. In parole semplici, è davvero possibile sapere quale lato dei dadi in dadi scenderà la prossima volta. È stata questa domanda che ha chiesto due grandi scienziati che hanno avviato una scienza come la teoria di probabilità, la probabilità di un evento in cui è studiata abbastanza ampiamente.

generazione

Se cerchiamo di definire un concetto come la teoria della probabilità, verrà ottenuto il seguente risultato: questo è uno dei rami della matematica che si occupa dello studio della costanza di eventi casuali. Chiaramente, questo concetto non rileva veramente tutto il punto, quindi è necessario considerarlo in modo più dettagliato.

Vorrei iniziare con i fondatori della teoria. Come accennato in precedenza, c'erano due di loro, questo è Pierre Fermat e Blaise Pascal. Sono stati uno dei primi ad usare le formule ei calcoli matematici per calcolare l'esito di un evento. In generale, l'inizio di questa scienza si è manifestata nel Medioevo. A quel tempo, diversi pensatori e scienziati hanno cercato di analizzare il gioco d'azzardo, come la roulette, le ossa e così via, determinando così la regolarità e il rapporto percentuale della caduta di un determinato numero. La fondazione fu posata nel XVII secolo proprio dagli scienziati sopra menzionati.

All'inizio, le loro opere non potevano essere attribuite ai grandi risultati in questo campo, perché tutto quello che fecero era semplicemente fatti empirici e gli esperimenti sono stati visualizzati senza l'uso di formule. Nel tempo, si è scoperto di ottenere ottimi risultati, che sono comparsi a causa dell'osservazione del lancio delle ossa. È stato questo strumento che ha aiutato a ottenere le prime formule intelligibili.

Persone simili

È impossibile non menzionare una persona come Christian Huygens, nel processo di studiare l'argomento chiamato "teoria della probabilità" (la probabilità dell'evento è coperta da questa scienza). Questa persona è molto interessante. Egli, oltre agli scienziati di cui sopra, ha cercato di trarre le leggi di eventi casuali sotto forma di formule matematiche. È degno di nota che non lo ha fatto con Pascal e Fermat, cioè tutte le sue opere non si sono sovrapposte a queste menti. Huygens ha derivato i concetti di base della teoria della probabilità.

È interessante notare che il suo lavoro è stato pubblicato molto prima dei risultati delle opere degli scopritori, o meglio, vent'anni prima. Tra i concetti designati, i più famosi sono:

• Il concetto di probabilità come grandezza di una probabilità;
• Aspettativa matematica per casi discreti;
• Teoremi di moltiplicazione e aggiunta di probabilità.

Inoltre è impossibile non ricordare Jakob Bernoulli, che ha anche contribuito significativamente allo studio del problema. Condotta la propria, nessuno sui test indipendenti, riuscì a presentare una prova della legge di grandi numeri. A sua volta, gli scienziati di Poisson e Laplace, che lavoravano all'inizio del XIX secolo, erano in grado di dimostrare i teoremi originali. Fu da questo momento di utilizzare la teoria della probabilità di analizzare gli errori nel corso delle osservazioni. Gli scienziati russi, o più precisamente Markov, Chebyshev e Diapunov non potevano ignorare questa scienza. Essi, basati sul lavoro svolto dai grandi geni, hanno fissato questo argomento come una sezione della matematica. Queste figure hanno funzionato alla fine del XIX secolo e grazie al loro contributo, fenomeni come:

• La legge dei grandi numeri;
• La teoria delle catene di Markov;
• Teorema di limite centrale.

Così, con la storia della nascita della scienza e con le principali persone che lo hanno influenzato, tutto è più o meno chiaro. Ora è il momento di concretizzare tutti i fatti.

Concetti fondamentali

Prima di toccare leggi e teoremi, vale la pena studiare i concetti base della teoria della probabilità. L'evento in esso svolge un ruolo dominante. Questo argomento è abbastanza voluminoso, ma senza di essa non sarai in grado di capire tutto il resto.

L'evento nella teoria della probabilità è Qualsiasi insieme di risultati dell'esperienza. Non ci sono tante nozioni di questo fenomeno. Così, lo scienziato Lotman, che lavora in questo campo, ha dichiarato che in questo caso si tratta di ciò che "è accaduto, anche se non potrebbe accadere".

Eventi casuali (la teoria della probabilità pone un'attenzione particolare a loro) è un concetto che implica assolutamente qualsiasi fenomeno che possa verificarsi. Oppure, al contrario, questo scenario non può verificarsi quando sono soddisfatte molte condizioni. Vale anche la pena di sapere che sono eventi casuali che catturano l'intero volume dei fenomeni accaduti. La teoria della probabilità indica che tutte le condizioni possono essere ripetute per tutto il tempo. Era il loro comportamento chiamato "esperienza" o "prova".

Un certo evento è un fenomeno che succederà completamente in questo processo. Di conseguenza, un evento impossibile è quello che non accade.

Combinando una coppia di azioni (condizionale caso A e caso B) è un fenomeno che si verifica contemporaneamente. Essi sono indicati come AB.

La somma delle coppie di eventi A e B è C, in altre parole, se almeno uno si verifica (A o B), allora il risultato è C. La formula del fenomeno descritto è scritta come: C = A + B.

Gli eventi non congiunti nella teoria della probabilità implicano che due casi si escludono reciprocamente. Allo stesso tempo, non possono accadere in nessun caso. Gli eventi congiunti nella teoria della probabilità sono il loro antipodo. Qui si intende che se A è accaduto, allora non impedisce V.

Gli eventi opposti (la teoria della probabilità li tratta in grande dettaglio) sono facili da comprendere. È meglio confrontarsi con loro. Sono quasi uguali agli eventi incoerenti nella teoria della probabilità. Ma la loro differenza sta nel fatto che uno dei molti fenomeni in ogni caso dovrebbe avvenire.

Eventi ugualmente possibili sono quelle azioni la cui ripetibilità è uguale. Per essere più chiari, potete immaginare di lanciare una moneta: la caduta di uno dei suoi lati è ugualmente probabile la caduta di un altro.

Un evento favorevole è più facile da considerare con un esempio. Diciamo che c'è un episodio B e un episodio A. Il primo è un rotolo dei dadi con l'aspetto di un numero dispari e la seconda è l'aspetto del numero cinque sul cubo. Poi si scopre che A è favorevole a B.

Gli eventi indipendenti nella teoria della probabilità sono proiettati solo in due o più casi e implicano l'indipendenza di un'azione dall'altra. Ad esempio, A – cadere una code quando si lancia una moneta e B – ottenere un jack da un ponte. Sono eventi indipendenti nella teoria della probabilità. Con questo momento è diventato più chiaro.

Gli eventi dipendenti della teoria di probabilità sono anche ammissibili solo per il loro set. Essi implicano una dipendenza l'una dall'altra, cioè il fenomeno B può verificarsi solo se A è già accaduto o, viceversa, non è avvenuto, quando questa è la condizione principale per V.

Il risultato di un esperimento casuale costituito da un componente è eventi elementari. La teoria della probabilità spiega che questo è un fenomeno che si è verificato solo una volta.

Formule di base

Così, le nozioni "evento", "teoria di probabilità" sono state considerate sopra, è stata data anche la definizione dei termini fondamentali di questa scienza. Ora è il momento di familiarizzare con formule importanti. Queste espressioni confermano matematicamente tutti i concetti principali in un argomento così complesso come la teoria della probabilità. La probabilità dell'evento gioca un ruolo enorme qui.

È meglio iniziare con le formule base di combinatoria. E prima di procedere con loro, vale la pena considerare ciò che è.

Combinatorics è innanzitutto un ramo della matematica, si occupa dello studio di un numero enorme di interi, nonché di varie permutazioni dei numeri stessi, dei loro elementi, dei vari dati, ecc., Che portano alla comparsa di una serie di combinazioni. Oltre alla teoria della probabilità, questo ramo è importante per le statistiche, le scienze informatiche e la crittografia.

Quindi, ora puoi procedere alla rappresentazione delle formule stesse e alla loro definizione.

La prima di queste sarà un'espressione per il numero di permutazioni, sembra così:

P_n = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) … 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

L'equazione viene utilizzata solo se gli elementi differiscono solo nell'ordine della loro posizione.

Ora la formula di collocamento sarà considerata, sembra così:

A_n ^ m = n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n-m + 1) = n! : (N-m)!

Questa espressione è applicabile non solo all'ordine del posizionamento dell'elemento, ma anche alla sua composizione.

La terza equazione di combinatorics, ed è quest'ultimo, viene chiamata la formula per il numero di combinazioni:

C_n ^ m = n! : ((N-m))! : M!

Una combinazione è un campione che non viene ordinato rispettivamente e questa regola si applica a loro.

Con le formule combinatoriche è stato possibile risolvere senza difficoltà, ora possiamo procedere alla definizione classica delle probabilità. Questa espressione è simile a questa:

P (A) = m: n.

In questa formula m è il numero di condizioni che favoriscono l'evento A e n è il numero di tutti gli esiti assolutamente possibili e elementari.

Ci sono molte espressioni, l'articolo non coprirà tutto, ma le cose più importanti saranno influenzate, come la probabilità della somma degli eventi:

P (A + B) = P (A) + P (B) è il teorema per aggiungere solo eventi incompatibili;

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB) – questo per l'aggiunta è solo compatibile.

Probabilità dell'evento:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) è il teorema di eventi indipendenti;

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A; B)) e questo per quelli dipendenti.

Termina l'elenco delle formule evento. La teoria della probabilità ci dice del teorema Bayes, che sembra questo:

P (AHH_k)), m = 1, P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): n

In questa formula H1, H2, …, H _n è una serie completa di ipotesi.

Ci soffermeremo su questo, prenderemo in considerazione ulteriori esempi di formulazione di formule per risolvere problemi specifici dalla pratica.

esempi

Se studia attentamente qualsiasi sezione della matematica, non esiste senza esercizi e soluzioni di campionamento. Quindi la teoria della probabilità: eventi, esempi qui sono un componente integrale, confermando i calcoli scientifici.

La formula per il numero di permutazioni

Diciamo che ci sono trenta carte in un mazzo di carte, a partire da un valore nominale di uno. Prossima domanda. Quanti modi ci sono i modi per piegare il ponte in modo che le carte con valore nominale uno e due non si trovino fianco a fianco?

L'attività è impostata, ora passiamo alla sua soluzione. In primo luogo, dobbiamo determinare il numero di permutazioni di trenta elementi, per questo prendiamo la formula sopra, otteniamo P_30 = 30!.

Sulla base di questa regola, apprestiamo quante opzioni ci sono per piegare il ponte in modi diversi, ma dobbiamo sottrarre da quelli quelli in cui le prime e le seconde carte saranno successive. Per fare questo, cominciamo con l'opzione, quando il primo è sopra la seconda. Si scopre che la prima carta può richiedere venti-nove posti – dal primo al ventinovesimo e la seconda carta dal secondo al 30, si ottiene solo venti-nove posti per un paio di carte. A sua volta, il resto può richiedere dodici otto posti e in ordine arbitrario. Cioè, per lo scambio di ventotto carte ci sono 28 varianti P_28 = 28!

Alla fine, si scopre che se consideriamo la soluzione, quando la prima carta supera il secondo, le possibilità supplementari si riveleranno 29 ⋅ 28! = 29!

Utilizzando lo stesso metodo, è necessario calcolare il numero di opzioni ridondanti per il caso in cui la prima scheda sia sotto la seconda. Si scopre anche 29 ⋅ 28! = 29!

Da ciò segue che le opzioni supplementari 2 ⋅ 29!, Mentre i modi necessari per raccogliere un mazzo di 30! – 2 ⋅ 29!. Resta solo da contare.

30! = 29! ⋅ 30; 30! – 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 – 2) = 29! ⋅ 28

Ora dobbiamo moltiplicare tutti i numeri da uno a venti-nove, poi moltiplicare tutto per 28. Alla fine, ottieniamo 2,4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

Soluzione dell'esempio. La formula per il numero di posizionamenti

In questo compito è necessario scoprire quanti modi ci sono per mettere quindici volumi su uno scaffale, ma a condizione che ci siano trenta volumi.

In questo problema, la soluzione è leggermente più semplice di quella precedente. Utilizzando la formula già nota, è necessario calcolare il numero totale di arrangiamenti da trenta volumi a quindici.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ … ⋅ (30 – 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

La risposta, rispettivamente, sarà 202 843 204 931 727 360 000.

Ora prendiamo un compito più complicato. È necessario scoprire quanti modi ci sono per collocare trenta libri su due scaffali, a condizione che solo quindici volumi possono essere su un unico ripiano.

Prima dell'inizio della soluzione, vorrei chiarire che alcuni problemi sono risolti in diversi modi, in questo modo ci sono due modi, ma entrambi utilizzano la stessa formula.

In questo compito possiamo prendere la risposta del precedente perché abbiamo calcolato quante volte è possibile riempire lo scaffale per quindici libri in modi diversi. Si è rivelato che A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 – 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16.

La seconda scaffalatura sarà calcolata secondo la formula di permutazione, in quanto vi sono quindici libri, mentre rimangono solo quindici libri. Utilizziamo la formula P_15 = 15!.

Si scopre che la somma sarà A_30 ^ 15 ⋅ P_15 modi, ma oltre a questo, il prodotto di tutti i numeri da trenta a sedici dovrà essere moltiplicato con il prodotto di numeri da uno a quindici, alla fine otteniamo il prodotto di tutti i numeri da uno a trenta, cioè la risposta È uguale a 30!

Ma questo compito può essere risolto in modo diverso – è più facile. Per fare questo, potete immaginare che ci sia uno scaffale per trenta libri. Tutti sono collocati su questo piano, ma poiché la condizione richiede che ci siano due ripiani, poi tagliamo una sega lunga a metà, otteniamo due per quindici. Da questo si scopre che le varianti della disposizione possono essere P_30 = 30!.

Soluzione dell'esempio. La formula per il numero di combinazione

Ora consideriamo una variante del terzo problema da combinatoria. È necessario scoprire quanti modi ci sono per organizzare quindici libri, a patto che tu debba scegliere tra trenta assolutamente identici.

Per la soluzione, naturalmente, verrà applicata la formula per il numero di combinazioni. Dalla condizione diventa chiaro che l'ordine degli identici quindici libri non è importante. Pertanto, innanzitutto è necessario scoprire il numero totale di combinazioni di trenta libri da quindici.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

Questo è tutto. Utilizzando questa formula, nel più breve tempo possibile è stato possibile risolvere un simile problema, la risposta, rispettivamente, è 155 117 520.

Soluzione dell'esempio. La definizione classica della probabilità

Utilizzando la formula sopra, è possibile trovare la risposta in un semplice compito. Ma questo aiuterà a vedere e seguire visivamente il corso d'azione.

Nel problema è dato che ci sono dieci palline assolutamente identiche nell'urna. Di questi, quattro sono gialli e sei sono blu. Una palla viene prelevata dall'urna. Devi conoscere la probabilità di ottenere l'azzurro.

Per risolvere il problema, è necessario designare l'ottenimento della palla blu per l'evento A. Questa esperienza può avere dieci risultati, che a loro volta sono elementari e ugualmente possibili. Allo stesso tempo, su dieci e dieci sono favorevoli per l'evento A. Decidiamo secondo la formula:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Applicando questa formula, abbiamo imparato che la possibilità dostavaniya palla blu è pari a 0,6.

Esempi di soluzioni. La probabilità di eventi importo

Chi sarà una variante che viene risolto utilizzando la formula di probabilità di eventi quantità. Quindi, data la condizione che ci sono due casi, il primo è grigio e cinque sfere bianche, mentre il secondo – otto grigio e quattro palle bianche. Di conseguenza, il primo e secondo scatole hanno preso su uno di essi. E 'necessario scoprire quali sono le probabilità che mancavano le palline sono di colore grigio e nero.

Per risolvere questo problema, è necessario identificare l'evento.

• Così, A – abbiamo una sfera grigia della prima casella: P (A) = 1/6.
• A '- lampadina bianca taken anche dalla prima casella: P (A') = 5/6.
• L'- già estratta sfera grigia del secondo condotto: P (B) = 2/3.
• B '- prende una palla grigia del secondo cassetto: P (B') = 1/3.

Secondo il problema è necessario che uno dei fenomeni successo: AB 'o' B. Utilizzando la formula, otteniamo: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Ora, la formula del moltiplicando la probabilità è stato utilizzato. Successivamente, per scoprire la risposta, è necessario applicare loro equazione aggiungendo:

P = P (AB '+ ÀB) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

È così che, utilizzando la formula, è possibile risolvere tali problemi.

risultato

Il documento è stato presentato alle informazioni sulla "teoria della probabilità", la probabilità di eventi che svolgono un ruolo importante. Naturalmente, non tutto è stato considerato, ma sulla base del testo presentato, si può teoricamente fare la conoscenza con questo ramo della matematica. la scienza Considerato può essere utile non solo nel settore professionale, ma anche nella vita di tutti i giorni. Si può usare per calcolare ogni possibilità di un evento.

Il testo è stato influenzato anche da date significative della storia dello sviluppo della teoria della probabilità come scienza, ei nomi delle persone i cui lavori sono stati messi in esso. Ecco come curiosità umana ha portato al fatto che la gente ha imparato a contare, anche gli eventi casuali. Una volta che sono solo interessati a questo, ma oggi è già noto a tutti. E nessuno può dire che cosa accadrà a noi in futuro, ciò che altre scoperte brillanti legati alla teoria in esame, sarebbero stati commessi. Ma una cosa è certa – lo studio ancora non ne vale la pena!