Trasformata di Fourier. Fast Fourier Transform. Trasformata discreta di Fourier

Trasformazione di Fourier – trasformazione, associando una certa funzione di variabile reale. Questa operazione viene eseguita ogni volta che percepiamo suoni diversi. Ear produce automatico "calcolo", che soddisfano la nostra coscienza può solo dopo l'esame della sezione di matematica superiore. sentite organo in una trasformazione umana costruisce, in cui il suono (convenzionale movimento vibrazionale particelle in un mezzo elastico, che si propagano in forma d'onda nel mezzo solido, liquido o gassoso) è fornita in un intervallo di valori consecutivi del volume dei toni di varie altezze. Dopo questo, il cervello trasforma le informazioni in tutto il suono familiare.

Matematico Fourier

Conversione di onde sonore o processi altro vibrazione (per emissione di luce e mare marea e ai cicli stellari o solare) può essere effettuata sia mediante metodi matematici. Così, utilizzando queste tecniche, le funzioni possono essere ampliate introducendo processi vibrazionali serie di componenti sinusoidali, cioè curve ondulate che vanno da un minimo ad un massimo e poi ancora al minimo, come l'onda del mare. Trasformata di Fourier – funzione di trasformazione che descrive la fase o ampiezza di ogni sinusoide corrispondente ad una particolare frequenza. Fase è un punto di partenza della curva, e l'ampiezza – della sua altezza.

Trasformata di Fourier (esempi sono mostrati nella foto) è uno strumento molto potente, che viene utilizzato in vari campi della scienza. In alcuni casi, viene utilizzata come soluzione equazioni piuttosto complesse che descrivono i processi dinamici che si verificano sotto l'influenza della luce, calore o di energia elettrica. In altri casi, permette di definire i componenti regolari in forme d'onda complesse, a causa di questo può essere vero per interpretare varie osservazioni sperimentali in chimica, medicina e l'astronomia.

informazioni storiche

La prima persona ad applicare questo metodo è stato il matematico francese Zhan Batist Fure. La conversione, in seguito porta il suo nome, è stato originariamente utilizzato per descrivere il meccanismo di conduzione del calore. Fourier tutta la sua vita adulta impegnati nello studio delle proprietà del calore. Ha fatto un enorme contributo alla teoria matematica della determinazione delle radici di equazioni algebriche. Fourier era un professore di analisi presso l'Ecole Polytechnique, il segretario generale dell'Istituto di Egittologia, è stato il servizio imperiale, che ha causato scalpore al momento della costruzione della strada a Torino (sotto la sua guida è stato svuotato di oltre 80 mila chilometri quadrati di paludi malariche). Tuttavia, tutto questo attivismo non ha impedito lo scienziato impegnato in analisi matematica. Nel 1802 è stata derivata un'equazione che descrive la propagazione del calore nei solidi. Nel 1807, lo scienziato ha scoperto un metodo per risolvere questa equazione, che divenne noto come "trasformata di Fourier".

analisi conducibilità termica

Ricercatori hanno utilizzato un metodo matematico per descrivere il meccanismo di conduzione di calore. Un esempio pratico, in cui nessuna difficoltà nel calcolo è la propagazione di energia termica da un anello di ferro, una parte immerso in un incendio. Per effettuare esperimenti Fourier rosso parte calda ring e lo seppelliscono in sabbia fine. Successivamente, le misure di temperatura effettuate sulla parte opposta. Inizialmente, la distribuzione del calore è irregolare: parte dell'anello – freddo, e l'altro – caldo, tra le zone può osservare un gradiente di temperatura tagliente. Tuttavia, durante la distribuzione del calore su tutta la superficie del metallo, diventa più uniforme. Così, ben presto, questo processo richiede la forma di un'onda sinusoidale. Primo grafico aumenta gradualmente e diminuisce anche uniformemente, accuratamente le leggi di variazione del coseno o funzione seno. Onda gradualmente equalizzato e di conseguenza la temperatura diventa uniforme su tutta la superficie dell'anello.

L'autore di questo metodo presuppone che la distribuzione iniziale è piuttosto irregolare può essere scomposto in una serie di onde sinusoidali elementari. Ciascuno di loro avrà la sua fase (posizione iniziale) e la sua temperatura massima. Così ogni componente tali cambiamenti da un minimo ad un massimo e indietro per completare rivoluzione intorno ai tempi anello interi. Componente avente un periodo che è stato chiamato l'armonica fondamentale, e il valore con due o più periodi – il secondo e così via. Ad esempio, una funzione matematica che descrive la temperatura massima, la fase o la posizione chiamata la trasformata di Fourier della funzione di distribuzione. Scienziato portato un singolo componente che è difficile da descrizione matematica, per strumenti facili da usare – righe di seno e coseno, nella quantità di dare la distribuzione iniziale.

L'essenza delle analisi

Applicando questa analisi alla conversione di distribuzione del calore sul oggetto solido, di forma anulare, un matematico motivato che crescenti periodi di componenti sinusoidali conducono alla sua rapida smorzamento. Questo si vede chiaramente sulle principali e seconda armonica. La temperatura finale raggiunge doppio dei valori massimo e minimo in un singolo passaggio, e nella prima – solo una volta. Si scopre che la distanza percorsa dal calore nella seconda armonica è metà di quella del nucleo. Inoltre, il gradiente della seconda metà sarà anche più ripido rispetto alla prima. Pertanto, poiché un più intenso flusso termico passa vedova minima distanza, allora questo sarà smorzato armonica quattro volte più veloce del principale, in funzione del tempo. Nel seguito del processo sarà ancora più veloce. Matematico ritiene che questo metodo permette di calcolare il processo della distribuzione iniziale della temperatura con il tempo.

contemporanei di chiamata

Trasformata di Fourier algoritmo è diventata una sfida per i fondamenti teorici della matematica, al momento. Nei primi anni del XIX secolo, la maggior parte degli scienziati di primo piano, tra cui Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre e Biot non hanno accettato la sua affermazione che la temperatura della distribuzione iniziale viene scomposto in componenti sotto forma dell'onda fondamentale e più alta frequenza. Tuttavia, l'Accademia delle Scienze non poteva ignorare i risultati ottenuti matematico e gli ha conferito il Premio per la teoria della conduzione del calore delle disposizioni legislative, oltre a condurre il suo confronto con esperimenti fisici. Nell'approccio Fourier, l'obiezione principale è il fatto che una funzione discontinua è rappresentata da una somma di diverse funzioni sinusoidali, che sono continue. Dopo tutto, descrivono le linee di rottura rettilineo e curve. scienziato contemporaneo non aveva mai incontrato una situazione del genere, quando le funzioni discontinue descritte da una combinazione di continuo, come quadratica, lineare, sinusoidale o espositore. Nel caso in cui un matematico aveva ragione nelle sue affermazioni, la somma di una serie infinita di funzioni trigonometriche dovrebbe essere limitato alla velocità esatta. Mentre una tale affermazione sembrava assurdo. Tuttavia, nonostante i dubbi di alcuni ricercatori (ad esempio Claude Navier, Sofi Zhermen) ampliato il campo di ricerca e li ha portati fuori dalla analisi della distribuzione del calore. Una matematica, nel frattempo, ha continuato a soffrire la questione se una somma di diverse funzioni sinusoidali si riduce ad una rappresentazione esatta di esplosione.

200 anni di storia

Questa teoria è evoluta nel corso di due secoli, oggi è finalmente formata. Con l'aiuto delle funzioni spaziali e temporali sono rotti in componenti sinusoidali che hanno una frequenza, fase e ampiezza. Questa conversione è ottenuto da due diversi metodi matematici. Il primo di essi è utilizzata nel caso in cui la sorgente è una funzione continua, e la seconda – nel caso in cui è rappresentata da una pluralità di discreti singole modifiche. Se l'espressione è ottenuto da valori, che sono definiti ad intervalli discreti, può essere suddivisa in varie frequenze discrete sinusoidali espressioni – dal basso e poi raddoppiato, triplicato, e così via sopra la fondamentale. Tale quantità è chiamata la serie di Fourier. Se l'espressione iniziale imposta il valore di ogni numero reale, può essere suddiviso in più sinusoidali tutte le frequenze possibili. Si chiama un integrale di Fourier, e la decisione implica una trasformazione della funzione integrale. Indipendentemente dal metodo per ottenere la trasformazione, per ogni frequenza deve indicati due numeri: ampiezza e frequenza. Questi valori sono espressi come un singolo numero complesso. Espressione variabili complesse teoria insieme con trasformata di Fourier per eseguire calcoli permesso la progettazione dei vari circuiti elettrici, l'analisi delle vibrazioni meccaniche, lo studio del meccanismo di propagazione delle onde e altro.

Oggi trasformata di Fourier

Al giorno d'oggi, lo studio di questo processo si riduce sostanzialmente verso il basso per trovare metodi efficaci per il passaggio dalla funzione per riconvertirlo in mente. Questa soluzione si chiama Fourier diretta e trasformata inversa. Che cosa significa? Al fine di determinare l'integrale e fare una Fourier diretta trasformata, è possibile utilizzare metodi matematici, ma è possibile analitica. Nonostante il fatto che quando vengono utilizzati nella pratica ci sono alcune difficoltà, la maggior parte degli integrali sono già stati trovati e inseriti nei manuali matematiche. Con l'aiuto di espressioni metodi numerici può essere calcolato, la cui forma è basata su dati sperimentali, la cui funzione integrali nelle tabelle sono mancanti, e sono difficili da immaginare in forma analitica.

Prima dell'avvento dei calcoli di ingegneria informatica tali trasformazioni sono state molto noioso, richiedono l'esecuzione manuale di un gran numero di operazioni aritmetiche che dipendono dal numero di punti che descrivono la funzione d'onda. Per facilitare l'insediamento di oggi, ci sono programmi speciali, ha permesso di implementare nuovi metodi analitici. Così, nel 1965, Dzheyms Kuli e Dzhon Tyuki creato un software che divenne noto come "Fast Fourier Transform". Si risparmia il tempo di calcolo, riducendo il numero di moltiplicazioni nell'analisi della curva. "Fast Fourier Transform" Il metodo si basa sulla divisione curva in un gran numero di valori campione uniformi. Di conseguenza, il numero di moltiplicazioni si dimezza Allo stesso ridurre il numero di punti.

Applicando la trasformata di Fourier

Questo processo viene utilizzato in vari campi: In teoria dei numeri, la fisica, l'elaborazione del segnale, calcolo combinatorio, teoria della probabilità, la crittografia, le statistiche, l'oceanografia, ottica, acustica, e altre geometrie. ricche possibilità per il suo utilizzo sono basati su un certo numero di funzioni utili, che sono chiamati "proprietà della trasformazione di Fourier." Esaminiamole.

1. La funzione di conversione è un operatore lineare ed un corrispondente normalizzazione è unitaria. Questa proprietà è nota come teorema di Parseval, o, nel caso generale, il teorema Plansherelja o Pontrjagin dualismo.

2. La conversione è reversibile. Inoltre, il risultato è opposto forma sostanzialmente simile come nel indirizzamento diretto.

3. Le espressioni di base sinusoidali sono proprie funzioni differenziate. Ciò significa che tale rappresentazione cambia equazioni lineari con coefficienti costanti in un algebrica convenzionale.

4. Secondo il teorema "convoluzione", il processo rende un'operazione complessa moltiplicazione elementare.

5. Discrete Fourier Transform può essere rapidamente progettato su un computer utilizzando il metodo "veloce".

Variazioni della trasformata di Fourier

1. Il più spesso il termine è usato per riferirsi ad una trasformazione continua, fornendo qualsiasi espressione quadratico integrabile come somma di espressione esponenziale complesso con specifiche frequenze angolari e ampiezze. Questa specie ha diverse forme differenti, che possono essere differenti coefficienti costanti. Il metodo continuo comprende una tabella di conversione, che può essere trovato nei manuali matematiche. Un caso generalizzata è la conversione frazionaria, per cui questo processo può essere sollevato al potere reale desiderato.

2. Il metodo continuo è una generalizzazione della precedente tecnica della serie di Fourier definito per eventuali funzioni periodiche o espressioni che esistono in una zona limitata e le rappresentano come una serie di sinusoidi.

3. Discrete Fourier. Questo metodo è utilizzato nel calcolo per il calcolo scientifico ed elaborazione del segnale digitale. Per effettuare questo tipo di calcolo è necessario avere una funzione di determinare un insieme discreto di punti singoli, regione periodica o limitata anziché integrali di Fourier continue. conversione del segnale in questo caso è rappresentato come somma di sinusoidi. L'uso del metodo "veloce" permette l'uso di soluzioni digitali per tutti gli scopi pratici.

4. La finestra trasformata di Fourier è una vista generale del metodo classico. A differenza delle soluzioni standard, quando viene utilizzato lo spettro del segnale, che viene preso in tutta la gamma di esistenza di questa variabile è di particolare interesse è solo la distribuzione di frequenza locale mantenendo la variabile originale (tempo).

5. Il Fourier bidimensionale trasformata. Questo metodo viene utilizzato per lavorare con matrici bidimensionali di dati. In tal caso, la conversione viene eseguita in una direzione, e poi – nell'altro.

conclusione

Oggi, il metodo di Fourier è saldamente radicato nei vari campi della scienza. Ad esempio, nel 1962 ha aperto la forma di doppia elica del DNA utilizzando l'analisi di Fourier in combinazione con diffrazione a raggi X. cristalli recenti focalizzati su fibre di DNA, producendo un'immagine che si ottiene dalla diffrazione, registrato sulla pellicola. Questa immagine ha informazioni sul valore dell'ampiezza utilizzando la trasformata di Fourier a questa struttura cristallina. dati di fase ottenuti confrontando le carte di diffrazione DNA con le carte che sono ottenuti nell'analisi delle strutture chimiche simili. Come risultato, biologi ripristinati struttura cristallina – la funzione originale.

Trasformata di Fourier svolgere un ruolo enorme nello studio dello spazio, della fisica dei materiali semiconduttori e di plasma, acustica a microonde, l'oceanografia, sismologia, il radar e gli esami medici.