Funzione continua

Una funzione continua è una funzione senza "salti", ovvero uno per cui la condizione è soddisfatta: piccole modifiche nell'argomento sono seguite da piccole modifiche nei valori corrispondenti della funzione. Il grafico di tale funzione è una curva liscia o continua.

La continuità ad un punto che è il limite per un certo insieme può essere determinata usando il concetto di un limite, vale a dire: una funzione deve avere un limite a questo punto, uguale al suo valore al punto limite.

Se queste condizioni vengono violate ad un certo punto, si dice che la funzione in un determinato momento subisce una discontinuità, vale a dire che la sua continuità è violata. Nella lingua dei limiti, il punto di discontinuità può essere descritto come una non corrispondenza del valore di una funzione a un punto discontinuo con il limite di una funzione (se esiste).

Il punto di discontinuità può essere eliminato, per questo è necessario avere il limite di una funzione, ma non coincide con il suo valore in un determinato punto. In questo caso, può essere "corretto" a questo punto, cioè può essere esteso alla continuità.
Un'immagine completamente diversa si forma se il limite della funzione in un determinato punto non esiste. Ci sono due possibili varianti di punti di rottura:

• Del primo genere – esistono entrambi i limiti unilaterali e sono finiti e il valore di uno di essi o di entrambi non coincide con il valore della funzione in un determinato punto;
• Del secondo tipo, quando uno o entrambi i limiti unilaterali non esistono ei loro valori sono infiniti.

Proprietà delle funzioni continue

• La funzione ottenuta nel risultato delle operazioni aritmetiche, nonché la sovrapposizione di funzioni continue sul loro dominio di definizione, è anche continua.
• Se viene data una funzione continua che è positiva ad un certo punto, si può sempre trovare un quartiere sufficientemente piccolo, su cui conserva il proprio segno.
• Allo stesso modo, se i suoi valori in due punti A e B sono uguali, rispettivamente, a e b, con un diverso da b, quindi per i punti intermedi prenderà tutti i valori dall'intervallo (a; b). Da qui possiamo trarre una conclusione interessante: se offriamo una fascia di gomma allungata per ridursi in modo che non si abbassasse (rimanere dritto), allora uno dei suoi punti rimarrà fisso. E geometricamente ciò significa che c'è una linea retta che passa attraverso qualsiasi punto intermedio tra A e B, che attraversa il grafico della funzione.

Osserviamo alcune delle funzioni elementari continui (sul dominio della loro definizione):

• costante;
• razionale;
• trigonometria.

Tra i due concetti fondamentali della matematica – la continuità e la differenziazione – esiste un legame inestricabile. È sufficiente ricordare che per la diversità di una funzione è necessario che questa sia una funzione continua.

Se, tuttavia, la funzione è diversificabile ad un certo punto, allora è continua. Tuttavia, non è necessario che il suo derivato sia continuo.

Una funzione che ha un derivato continuo su un determinato insieme appartiene a una classe separata di funzioni lisce. In altre parole, questa funzione è continuamente differenziata. Se la derivata ha un numero limitato di punti di rottura (solo del primo tipo), si dice che una funzione simile sia liscia.

Un altro importante concetto di analisi matematica è la continuità uniforme di una funzione, cioè la sua capacità di essere ugualmente continuo in qualsiasi punto del suo dominio di definizione. Pertanto, questa proprietà è considerata sull'insieme di punti, e non in nessuno preso separatamente.

Se corriamo il punto, non abbiamo altro che la definizione di continuità, cioè l'esistenza di una continuità uniforme implica che abbiamo una funzione continua. In linea generale, l'inverso non è vero. Tuttavia, secondo il teorema di Cantor, se una funzione è continua su un compatto, cioè su un intervallo chiuso, allora è uniformemente continuo su di esso.