Numeri reali e loro proprietà

Pitagora ha affermato che il numero è il fondamento del mondo alla pari con gli elementi principali. Platone credeva che il numero di collegamenti del fenomeno e il noumeno, contribuendo a sapere, da pesare e trarre conclusioni. Aritmetica deriva dalla parola "arifmos" – il numero, il punto di partenza in matematica. E 'possibile descrivere qualsiasi oggetto – dalle elementari alle spazi astratti di mele.

Ha bisogno come fattore di sviluppo

Nelle fasi iniziali di sviluppo della società i bisogni delle persone vincolati dalla necessità di mantenere il punteggio – .. Un sacchetto di grano, due bag grano, ecc Per fare questo, è stato numeri naturali, l'insieme dei quali è una sequenza infinita di numeri interi positivi N.

Più tardi, lo sviluppo della matematica come scienza, si è reso necessario nel campo specifico dei numeri interi Z – comprende i valori negativi e pari a zero. La sua apparizione a livello nazionale, è stato provocato dal fatto che la contabilizzazione iniziale ha dovuto risolvere in qualche modo i debiti e le perdite. A livello scientifico, i numeri negativi hanno permesso di risolvere semplici equazioni lineari. Tra le altre cose, è ora possibile per un'immagine banale sistema di coordinate, cioè. A. C'è stato un punto di riferimento.

Il passo successivo è stata la necessità di inserire i numeri frazionari, in quanto la scienza non si ferma, sempre più nuove scoperte hanno richiesto una base teorica per una nuova crescita spinta. Quindi c'era un campo di numeri razionali Q.

Infine, non soddisfano più le esigenze della razionalità, perché tutte le nuove scoperte richiedono giustificazione. C'erano un campo di numeri reali R, le opere di incommensurabilità di Euclide di determinate quantità a causa della loro irrazionalità. Cioè, il matematico greco posizionato non solo numero come una costante, ma come un valore astratto che si caratterizza per il rapporto di grandezze incommensurabili. A causa del fatto che ci sono numeri reali, "abbiamo visto la luce" valori come "pi" ed "e", senza la quale la matematica moderna non avrebbe potuto aver luogo.

L'innovazione finale è stato un numero complesso C. ha risposto ad una serie di domande e confutato postulati precedentemente inseriti. A causa del rapido sviluppo di esito algebra era prevedibile – con i numeri reali, la decisione di molti problemi non era possibile. Ad esempio, grazie ai numeri complessi spicca teoria delle stringhe e caos espanso equazioni dell'idrodinamica.

Teoria degli insiemi. cantore

Il concetto di infinito è sempre provocato polemiche, come è stato impossibile provare o confutare. Nel contesto della matematica, che è gestito postulati rigorosamente verificate, si manifestava più evidente, tanto più che l'aspetto teologico ancora pesato nella scienza.

Tuttavia, attraverso il lavoro del matematico Georg Cantor tutti i tempi è andato a posto. Ha dimostrato che gli insiemi infiniti v'è un insieme infinito, e che il campo R è maggiore del campo N, lasciate entrambi e non hanno fine. A metà del XIX secolo, le sue idee pubblicamente chiamato nonsense e un crimine contro canoni immutabili classici, ma il tempo metterà ogni cosa al suo posto.

Proprietà di base del campo R

i numeri reali non hanno solo le stesse proprietà del podmozhestva che includono, ma sono integrati da altri masshabnosti in virtù dei suoi elementi:

• Zero R. esiste e appartiene al campo c + = c 0 per ogni c di R.
• Zero esiste e appartiene al campo R. c x 0 = 0 per ogni c di R.
• Il rapporto c: d quando d ≠ 0 esiste ed è valido per qualsiasi c, d di R.
• Campo R ordinato, cioè se c ≤ d, d ≤ c, allora c = d per qualsiasi c, d di R.
• Inoltre nel campo R è commutativo, cioè c + d = d + c, per ogni c, d di R.
• Moltiplicazione nel campo R è commutativo, cioè x c x d = d c per tutti c, d di R.
• Inoltre nel campo R è associativa cioè (c + d) + f = c + (d + f) per qualsiasi c, d, f R.
• Moltiplicazione nel campo R è associativa cioè (c x d) x = f c x (d x f) per qualsiasi c, d, f R.
• Per ciascun numero di campo R opposta lì, tali che c + (c) = 0, dove c, -c da R.
• Per ciascun numero di campo R esiste sua inversa, tali che c x c ^-1 = 1 dove c, c ^-1 R.
• Unità esiste e appartiene a R, in modo che i c x 1 = c, per qualsiasi c di R.
• Essa ha distribuzione legge di potenza, in modo che c x (d + f) = c x d + c x f, per ogni c, d, f R.
• Il campo R è zero non è uguale all'unità.
• Campo R è transitiva: se c ≤ d, d ≤ f, quindi c ≤ f per qualsiasi c, d, f R.
• Nell'ordine R e inoltre sono interconnessi: se c ≤ d, allora c + f ≤ d + f per ogni c, d, f R.
• Nell'ordine di R e moltiplicazione collegato: se 0 ≤ c, 0 ≤ d, quindi 0 ≤ c x d per qualsiasi c, d di R.
• Come numeri reali negativi e positivi sono continue, cioè, per ogni c, d di R f, esiste da R, che c ≤ f ≤ d.

campo moduli R

I numeri reali sono una cosa come un modulo. Designato come l'| f | per ogni f in R. | f | = F, se 0 ≤ f e | f | = -f, se 0> f. Se consideriamo il modulo come un valore geometrico, è una distanza – non importa, il "visto" si come zero in senso negativo al positivo o in avanti.

Numeri complessi e reali. Quali sono le somiglianze e le differenze?

In generale, complessi e numeri reali – sono uno e lo stesso, tranne che la prima uniti l'unità immaginaria i, il cui quadrato è uguale a -1. Elementi campi R e C possono essere rappresentati dalla seguente formula:

• c = d + f x i, in cui d, f appartengono al campo R, ed i – unità immaginaria.

Per ottenere il c di R f in questo caso semplicemente assunto pari a zero, vale a dire, v'è solo la parte reale del numero. Poiché il campo dei numeri complessi ha le stesse caratteristiche del campo di real, f x i = 0 se F = 0.

Per quanto riguarda differenze pratiche, per esempio nel campo R dell'equazione quadratica non può essere risolto se il discriminante è negativo, mentre la scatola C non impone questa limitazione introducendo l'unità immaginaria i.

risultati

"mattoni" di assiomi e postulati su cui la matematica di base, non cambiano. Su alcuni di loro a causa dell'aumento delle informazioni e l'introduzione di nuove teorie posto i seguenti "mattoni", che in futuro potrebbe diventare la base per il passo successivo. Ad esempio, i numeri naturali, nonostante il fatto che sono un sottoinsieme del campo vero e proprio R, non perde la sua rilevanza. E 'a loro la base di tutta l'aritmetica elementare, che inizia con la conoscenza di un uomo di pace.

Da un punto di vista pratico, i numeri reali sembrano una linea retta. E 'possibile scegliere una direzione, di identificare l'origine e il passo. Diretto consiste di un numero infinito di punti, ciascuno dei quali corrisponde ad un singolo numero reale, indipendentemente dal fatto che razionale. Dalla descrizione, è chiaro che stiamo parlando del concetto, che si basa la matematica in generale, e analisi matematica in particolare.