L'equazione del piano: come fare? Tipi di equazioni aereo

Lo spazio aereo può essere definito in vari modi (un puntino e vettoriale, il vettore e due punti, tre punti, ecc). È con questo in mente, l'equazione aereo può avere tipi differenti. Anche in certe condizioni può essere piano parallelo, perpendicolare, si intersecano, etc. Su questo e parlerà in questo articolo. Impareremo a fare l'equazione generale del piano e non solo.

La forma normale dell'equazione

Supponiamo R è lo spazio _3, che ha una coordinata rettangolare sistema XYZ. Definiamo un vettore α, che uscirà dal punto di partenza O. Attraverso la fine delle α vettore disegnano piano P perpendicolare ad esso.

Indichiamo P ad un arbitrario punto Q = (x, y, z). Il raggio vettore del punto Q segno lettera p. La lunghezza del vettore è uguale α p = IαI e Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Questo vettore unità, che è diretta nella direzione come vettore α. α, β e γ – sono angoli che si formano tra il vettore e le direzioni positive Ʋ assi spaziali x, y, z rispettivamente. La proiezione di un punto sul vettore QεP Ʋ è una costante che è uguale a p (p, Ʋ) = p (r≥0).

L'equazione di cui sopra è significativo quando p = 0. L'unico aereo n in questo caso, sarebbe attraversare punto O (α = 0), che è l'origine e versore Ʋ, rilasciato dal punto O sarà perpendicolare P, anche se la sua direzione, il che significa che il vettore Ʋ determinato fino al segno. precedente equazione è il nostro piano P, espressa in forma vettoriale. Ma in vista delle sue coordinate è:

P è maggiore o uguale a 0. Abbiamo trovato l'equazione aereo in forma normale.

L'equazione generale

Se l'equazione nelle coordinate moltiplicare per qualsiasi numero che non è uguale a zero, si ottiene l'equazione equivalente a questo che definisce il piano molto. Avrà la forma seguente:

Qui, A, B, C – è il numero di contemporaneamente diversi da zero. Questa equazione è detta equazione della forma generale del piano.

Le equazioni degli aerei. casi particolari

L'equazione può generalmente essere modificato con condizioni supplementari. Consideriamo alcuni di loro.

Si supponga che il coefficiente A è 0. Questo indica che il piano parallelo all'asse Ox predeterminato. In questo caso, la forma dell'equazione cambia: Wu + Cz + D = 0.

Analogamente, la forma di equazione e varierà con le seguenti condizioni:

• In primo luogo, se B = 0, le modifiche alla equazione Ax + Cz + D = 0, che indicherebbe il parallelismo rispetto all'asse Oy.
• In secondo luogo, se C = 0, l'equazione si trasforma in Ax + By + D = 0, vale a dire circa parallelo all'asse predeterminato Oz.
• Terzo, se D = 0, l'equazione apparirà come Ax + By + Cz = 0, il che significherebbe che il piano interseca O (origine).
• In quarto luogo, se A = B = 0, le modifiche alla equazione Cz + D = 0, che si riveleranno al parallelismo Oxy.
• Quinto, se B = C = 0, l'equazione diventa Ax + D = 0, il che significa che il piano è parallelo OYZ.
• In sesto luogo, se A = C = 0, l'equazione assume la forma Wu + D = 0, cioè, riferirà al Oxz parallelismo.

Forma dell'equazione in segmenti

Nel caso in cui numeri A, B, C, D diverso da zero, la forma dell'equazione (0) può essere la seguente:

x / a + y / b + z / c = 1,

in cui a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Riceviamo come equazione risultato del piano in pezzi. Va notato che questo piano interseca l'asse x al punto di coordinate (a, 0,0), Oy – (0, b, 0), e Oz – (0,0, s).

Dato l'equazione x / a + y / b + z / c = 1, non è difficile visualizzare piano di posizionamento rispetto ad un sistema di coordinate predeterminato.

Le coordinate del vettore normale

Il vettore normale n al piano P ha coordinate che sono i coefficienti dell'equazione generale del piano, cioè n (A, B, C).

Per determinare le coordinate del normale n, è sufficiente conoscere l'equazione generale dato piano.

Quando si utilizza l'equazione in segmenti, che ha la forma x / a + y / b + z / c = 1, come quando si utilizza l'equazione generale può essere scritta coordinate di qualsiasi vettore normale un dato piano: (1 / + 1 / b + 1 / c).

Va notato che il vettore normale di aiutare a risolvere i vari problemi. I problemi più comuni sono costituiti in piani perpendicolari o parallele prova, il compito di trovare angoli tra i piani o gli angoli tra i piani e linee rette.

Tipo secondo l'equazione aereo e coordinate del punto vettore normale

Un vettore non nullo n, perpendicolare ad un piano dato, chiamato normale (normale) ad un piano predeterminato.

Supponiamo che nello spazio di coordinate (sistema di coordinate rettangolari) Oxyz impostare:

• punto di coordinate (Mₒ hₒ, uₒ, zₒ);
• vettore zero n = A * i + B * j + k * C.

È necessario fare equazione del piano che passa attraverso il punto Mₒ perpendicolare al normale n.

Nello spazio abbiamo scelto un punto arbitrario e indichiamo M (x, y, z). Lasciare che il raggio vettore di ciascun punto M (x, y, z) sarà r = x * I + y * j + z * k, e il raggio vettore di un punto Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) – rₒ = hₒ * i + uₒ * j + k * zₒ. Il punto M apparterrà ad un piano dato, se il vettore MₒM essere perpendicolare al vettore n. Scriviamo la condizione di ortogonalità utilizzare il prodotto scalare:

[MₒM, n] = 0.

Poiché MₒM = r-rₒ, l'equazione vettoriale di aeroplano sarà simile a questa:

[R – rₒ, n] = 0.

Questa equazione può anche avere un'altra forma. A tale scopo, le proprietà del prodotto scalare, e convertiti lato sinistro dell'equazione. [R – rₒ, n] = [r, n] – [rₒ, n]. Se [rₒ, n] indicata come s, si ottiene la seguente equazione: [r, n] – a = 0 o [r, n] = s, che esprime la costanza delle sporgenze sul vettore normale del raggio-vettori dei punti indicati appartenenti aereo.

Ora è possibile ottenere la registrazione di tipo aereo nostra equazione vettore coordinare [r – rₒ, n] = 0. Dato che r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, e n = A * i + B * j + k * C, si ha:

Si scopre che abbiamo l'equazione è formato piano passante per il punto perpendicolare alla normale n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Tipo secondo l'equazione aereo e coordinate dei due punti del piano dei vettori collineari

Definiamo due punti arbitrari M '(x', y 'z') e M "(x" y" z "), nonché il vettore (a', a", a' '').

Ora possiamo scrivere piano equazione prefissata che passa attraverso il punto M esistente 'e M", e ogni punto con le coordinate M (x, y, z) paralleli ad un dato vettore.

Così vettori M'M x = {x 'y-y'; zz '} e M "M = {x" -x', y 'y'; z "z '} dovrebbe essere complanari con il vettore a = (a', a "a' ''), il che significa che (M'M M" M, a) = 0.

Così la nostra equazione di un piano nello spazio sarà simile a questa:

Tipo di equazione aereo, attraversando tre punti

Diciamo abbiamo tre punti: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x '' '' '' Hanno, z '' '), che non appartengono alla stessa linea. È necessario scrivere equazione del piano passante per i tre punti specificati. teoria geometria sostiene che questo tipo di piano esiste, è solo uno e solo. Poiché questo piano interseca il punto (x 'y', z '), la sua forma equazione sarebbe:

Qui, A, B, e C sono diversi da zero, allo stesso tempo. Anche in piano interseca altri due punti (x "y" z ") e (x '' ', y' '', z '' '). In questo contesto deve essere effettuato questo tipo di condizioni:

Ora siamo in grado di creare un sistema uniforme di equazioni (lineari) con incognite u, v, w:

Nel nostro caso x, yoz stand punto arbitrario che soddisfa l'equazione (1). Considerando l'equazione (1) e un sistema di equazioni (2) e (3) il sistema di equazioni indicate in figura, il vettore soddisfa N (A, B, C), che non è banale. È perché il determinante del sistema è zero.

L'equazione (1) che abbiamo avuto, questo è l'equazione del piano. 3 punti se ne va davvero, ed è facile da controllare. Per fare questo, abbiamo espandere il determinante dagli elementi della prima riga. Delle proprietà esistenti determinanti consegue che il nostro piano interseca simultaneamente tre punti originariamente prefissato (x 'y', z '), (x "y" z "), (x' '', y '' ', z' ''). Così abbiamo deciso di compito davanti a noi.

angolo diedro tra i piani

angolo diedro è una forma geometrica spaziale formata da due semipiani che emanano da una linea retta. In altre parole, parte dello spazio che è limitata alle semipiani.

Supponiamo di avere due piano con le seguenti equazioni:

Sappiamo che il vettore N = (A, B, C) e N¹ = (A¹, H¹, S¹) secondo piani prestabiliti sono perpendicolari. A questo proposito, l'angolo φ tra vettori N e N¹ uguale angolo (diedro), che si trova tra questi piani. Il prodotto scalare è dato da:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

proprio perché

cosj = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Basti considerare che 0≤φ≤π.

In realtà due piani che si intersecano, formano due angolo (diedro): & Phi ₁ e φ _2. La loro somma è pari a ¸ (φ ₁ + φ ₂ = π). Quanto ai loro coseni, i loro valori assoluti sono uguali, ma sono segni diversi, cioè, cos j = ₁ -cos φ _2. Se nell'equazione (0) è sostituito da A, B e C di -A, -B e -C rispettivamente, l'equazione, si ottiene, determinerà stesso piano, l'unico dell'angolo φ in cos equazione φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Sarà sostituito da π-φ.

L'equazione del piano perpendicolare

Chiamato piano perpendicolare, tra cui l'angolo è di 90 gradi. Utilizzando il materiale presentato sopra, possiamo trovare l'equazione di un piano perpendicolare all'altra. Supponiamo di avere due piani: Ax + By + Cz + D = 0, e + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Possiamo dire che sono ortogonali se cos = 0. Ciò significa che NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

L'equazione di un piano parallelo

Si fa riferimento a due piani paralleli che non contengono punti in comune.

La condizione di piani paralleli (loro equazioni sono le stesse come nel paragrafo precedente) è che i vettori N e N¹, che sono perpendicolari ad esse, collineari. Ciò significa che le seguenti condizioni proporzionalità:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Se i termini proporzionali sono espansi – A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

questo indica che il piano dati dello stesso. Ciò significa che l'equazione ax + by + Cz + D = 0 e + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 descrive un piano.

La distanza da punto a aereo

Supponiamo di avere un piano P, che è dato da (0). È necessario trovare la distanza dal punto di coordinate (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , È necessario portare l'equazione nel piano II aspetto normale per farlo:

(Ρ, v) = p (r≥0).

In questo caso, ρ (x, y, z) è il raggio vettore del nostro punto Q, trova n p – n è la lunghezza della perpendicolare, che è stato rilasciato dal punto zero, v – è il versore, che è disposta nella direzione a.

La differenza ρ-ρº raggio vettore di un punto Q = (x, y, z), appartenente alla n e il raggio vettore di un dato punto Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) è un tale vettore, il valore assoluto della proiezione di cui sopra v è uguale alla distanza d, che è necessario trovare da Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) a P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, ma

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) – (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Così si scopre,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Ora è chiaro che per calcolare la distanza d tra ₀ e Q piano P, è necessario utilizzare normale equazione vista in pianta, lo spostamento a sinistra di p, e l'ultimo luogo di x, y, z sostitutiva (hₒ, uₒ, zₒ).

Così, troviamo il valore assoluto dell'espressione risultante che è richiesto d.

Utilizzando i parametri del linguaggio, si ottiene l'ovvio:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Se il punto Q specificato ₀ è sull'altro lato del piano P come origine, quindi tra il vettore ρ-ρ ⁰ e V è un angolo ottuso, quindi:

D = – (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Nel caso in cui il punto Q ₀ in combinazione con l'origine si trova sullo stesso lato della U, viene creato l'angolo acuto, ovvero:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p – (ρ ^0, v)> 0.

Il risultato è che nel primo caso (ρ ^0, v)> p, nella seconda (ρ ^0, v) <p.

E sua equazione piano tangente

Relativo piano rispetto alla superficie nel punto di tangenza Mº – un piano contenente tutte le possibili tangente alla curva disegnata attraverso quel punto della superficie.

Con questa forma superficie dell'equazione F (x, y, z) = 0 nell'equazione del punto piano tangente tangente Mº (Hº, uº, zº) sarebbe:

F _x (Hº, uº, zº) (Hº x) + F _x (Hº, uº, zº) (uº y) + F _x (Hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Se la superficie è impostata in modo esplicito z = f (x, y), allora il piano tangente è descritta dall'equazione:

z-zº = f (Hº, uº) (Hº x) + f (Hº, uº) (y uº).

L'intersezione di due piani

In spazio tridimensionale è un sistema di coordinate (rettangolare) Oxyz, in due piani P 'e P' che si sovrappongono e non coincidono. Poiché ogni piano, che è in un sistema di coordinate rettangolare definita dall'equazione generale, si assume che n 'e n "sono definiti dalle equazioni A'x + V'u S'z + + D' = 0 e A" + B x '+ y con "z + D" = 0. In questo caso abbiamo normale n '(A', B 'C') del piano P 'e la normale n "(A", B "C") del piano P'. Come il nostro aereo non sono paralleli e non coincidono, allora questi vettori non siano collineari. Usando il linguaggio della matematica, abbiamo questa condizione può essere scritta come: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * E", λ * In "λ * C"), λεR. Lasci la linea retta che si trova all'incrocio P 'e P", viene indicata con la lettera A, in questo caso a = P' ∩ P".

e – una linea costituita da una pluralità di punti (comune) piani P 'e P". Ciò significa che le coordinate di ogni punto appartenente alla linea una, devono soddisfare simultaneamente l'equazione A'x + V'u S'z + + D '= 0 e A "x + B' z + C y" + D "= 0. Ciò significa che le coordinate del punto sarà una soluzione particolare le seguenti equazioni:

Il risultato è che la soluzione (totale) di questo sistema di equazioni determina le coordinate di ciascuno dei punti della linea che fungerà da punto di intersezione P 'e P", e determinare una linea in un sistema di coordinate Oxyz spazio (rettangolare).